1、2.3 二次函数yax2bxc的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) (3) 问题1 函数ya与y的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2，y，y2的图象，通过这些函数图象与函数y的图象之间的关系，推导出函数ya与y的图象之间所存在的关系。先画出函数y，y2的图象。先列表：x321012394101492188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大到两倍就可以了。图2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21yx2y2x2图2.2-1xOy再描点、连线，就分别得到了函数y，y2的图象
2、（如图21所示），从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到。同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y，y2的图象，并研究这两个函数图象与函数y的图象之间的关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya (a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数ya (a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。问题2 函数ya(xh)2k与ya的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们可以作出函数y2(x1)
3、21与y2的图象（如图22所示），从函数的图象我们不难发现，只要把函数y2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点。类似地，还可以通过画函数y3，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yabxc(a0)的图象的方法：由于ya
4、bxca()ca()c ，所以，yabxc(a0)的图象可以看作是将函数ya的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yabxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yabxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y。（2）当a0时，函数yabxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y。 上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的
5、思想方法来解决问题。xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4例1 求二次函数y36x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。解：y36x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）。说明：从这个例题可以看出，根据配方后
6、得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。函数yabxc图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数a决定。确定对称轴：对称轴方程为确定图象与x轴的交点情况，若0则与x轴有两个交点，可由方程bxc=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0则与x轴有无交点。确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图：（1） (2) (3) x /元130150165y/件705035例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）
7、之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。解：由于y是x的一次函数，于是，设ykxb，将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得。 yx200。设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1
8、600。答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元。例3 把二次函数ybxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值。解法一：ybxc(x +)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y的图像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函数ybxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数ybxc的图像。由于把二次函数y的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为y8x14的图像，函数
9、y8x14与函数ybxc表示同一个函数，b8，c14。说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律。这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点。今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。例4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值
10、进行讨论。解：（1）当a2时，函数y的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0。xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研
11、究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。练习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A）y2 （B）y24x2 （C）y21 （D）y24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2（ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n 。（2）已知二次函数y+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点。（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小。3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象。（1）y2x3； （2）y16 x。4已知函数y2x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：；。
