1、山东省实验中学(中心校区)20192020学年度上学期高三学年10月调研考试数学试卷一、选择题1.集合.,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出集合、,利用交集的定义可得出集合.【详解】,由于指数函数是增函数,当时,则,因此,故选B.【点睛】本题考查集合交集运算,同时也考查了函数的定义域与值域的求解,考查计算能力,属于基础题.2.已知,若,则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将转化为,并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.【详解】,且,解得,故选:C.【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示,通常将向量垂直转化为两向量数量积为零,考查计算能力,属于
2、基础题.3.已知函数,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的解析式由内到外计算出的值.【详解】,因此,故选D.【点睛】本题考查分段函数值的计算,对于多层函数值的计算,需充分利用函数解析式,由内到外逐层计算,考查计算能力,属于基础题.4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯,由题意an是公比为2的等比数列,S7=381,解
3、得a1=3故选B5.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将角表示为,再利用诱导公式可得出结果.【详解】,故选C.【点睛】本题考查利用诱导公式求值,解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系,考查计算能力,属于中等题.6.如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算,将用和表示,可得出和的值,由此可计算出的值.【详解】为的中点,且为的中点,所以,.因此,故选:A.【点睛】本题考查利用基底表示向量,要充分利用平面向量的加减法法则,考查运算求解能力,属于中等题.7.已知函数的最小正周期为
4、,为了得到函数的图象,只要将的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【详解】由的最小正周期是,得,即,因此它的图象向左平移个单位可得到的图象故选A考点:函数的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法:8.中,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的内角、的对边分别为、,利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、的等式表示,可求出的值,结合角的取值范围,可得出角的值.【详解】设的内角、的对边分别为、,则,所以,两个等式相除得,故选:B.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义,同
5、时也考查了三角形的面积公式,考查计算能力,属于中等题.9.定义在上函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:;则其中是“保等比数列函数”的的序号为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为,验证是否为非零常数,由此可得出正确选项.【详解】设等比数列的公比为,则.对于中的函数,该函数为“保等比数列函数”;对于中的函数,不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数”;对于中的函数,该函数为“保等比数列函数”;对于中的函数,不是常数,该函数不是“保等比数列函数”.故选C.【点睛】本题考查等比数列的定义,着重考查对题中
6、定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.10.已知函数,则( )A. 的图象关对称B. 的图象关于对称C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】A【解析】分析】研究函数的单调性,对称性即可得出结论【详解】解:因为函数所以解得函数的定义域为,令,可知在上单调递增,上单调递减,且在定义域上单调递增,由复合函数单调性判断方法:同増异减,可知的增区间为,减区间为,故,均错误;因为是偶函数,所以关于轴对称;故选:【点睛】本题考查了复合函数的单调性、对称性的应用,属于中档题11.已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】正项
7、等比数列满足,则,即,解出,即可得到当,时的关系式,进而得到结论【详解】解:依题意,正项等比数列满足,所以,即,解得或,因为数列是正项等比数列,所以,所以,又知道,所以,即,所以,当且仅当时等号成立,因为、为正整数,故等号不成立,当,时,当时,当,时,故的最小值为故选:【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,一元二次方程的解法,基本不等式的应用,属于中档题12.锐角中,角、所对的边分别为、,若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式,并结合条件得出,根据为锐角三角形得出角的取值范围,可得出的取值范围.【详解】,即
8、,化简得.由正弦定理边角互化思想得,即,所以,是锐角三角形,且,所以,解得,则,所以,因此,的取值范围是,故选D.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了二倍角公式的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.二、填空题13.设等差数列的前项和为,若,则 _【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为,根据题中条件列出有关首项和公差的方程组,解出这两个量,再利用等差数列的通项公式可求出的值.【详解】设等差数列的公差为,由,可得,解得.因此,故答案为.【点睛】本题考查等差数列相关量的计算,常利用首项和公差建立方程组,利用方程思想求解,考查计算能力,属于中等题.14.已
9、知函数的部分图象如图所示,则_,_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据图象得出函数的最小正周期,利用公式求出的值,再将点代入函数的解析式,结合的取值范围,可求出的值.【详解】由图象可知,函数的最小正周期满足,得,将点代入函数的解析式,得,则,故答案为,.【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式,基本步骤如下:(1)求、:,;(2)求:根据图象得出最小正周期,可得出;(3)求初相:将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.15.已知两个非零单位向量、的夹角为.不存在,使;在方向上的投影为.则上述结论正确序号是_(请将所有正确结论都填在横线上)【答案】【解析】【分析】根据
10、平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.【详解】对于命题,命题正确;对于命题,同理可得,则,命题正确;对于命题,命题正确;对于命题,在方向上的投影为,命题错误.因此,正确命题的序号为,故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律,同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义,解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解,考查推理能力,属于中等题.16.设函数 (为自然对数的底数),直线是曲线的切线,则的最小值为_.【答案】【解析】分析】设切点坐标为,利用导数求出曲线的切线方程,可将、用表示,构造函数,利用导数可求出函数的
11、最小值,即为的最小值.【详解】设切点坐标为,设曲线在处的切线方程为,所以,曲线在处的切线方程为,即,则,构造函数,则,令,得.当时,;当时,.所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即.因此,的最小值为,故答案为.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程,同时也考查了利用导数求函数的最值,解题的关键就是建立函数关系式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、解答题17.已知函数.(1)求函数的单调减区间和对称轴;(2)若不等式在上有解,求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换以及二倍角化简,然后根据正弦函数的性质进行计算(2)由(1)可得,再根据正弦函数的
12、性质求出在区间上的值域,即可得解.【详解】解:(1)由题意由,整理,可得,函数的单调减区间为:,又,解得,函数的对称轴方程为:,(2),要使不等式有解,必须的取值范围为,【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及二倍角相关导出公式进行化简,正弦函数的性质,不等式的性质,属于中档题18.等比数列的公比,且是、的等差中项.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据题中条件得出,求出的值,然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式;(2)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求出数列的前项和.【详解】(1)由题意可得,即,解得.因此,数列的通项公式
13、为;(2),上式下式得,因此,.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解,同时也考查了错位相减法,解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求,考查计算能力,属于中等题.19.在中,角、所对的边分别为、,且.(1)求角的大小;(2)若,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值,再由角的取值范围可求出角的值;(2)利用正弦定理得出,于是得出,利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数,可求出的最大值.【详解】(1),且,即,即,化简得,则,得.,;(2)由正弦定理得,则,所以,为锐角,且,则,当时,取得最大值.【点睛】
14、本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题,在求解三角形中的最值与取值范围问题时,一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数,借助三角函数恒等变换思想求解,考查计算能力,属于中等题.20.已知数列中,前项和为,且.(1)求证:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)构造,两式作差得到即可得到即可得证(2)利用裂项相消法求和【详解】解:(1)证明:令得,得, 在中可约去得,即,又,是以首项为1,公差为1的等差数列(2)易得,【点睛】本题考查由证明数列为等差数列以及裂项相消法求和,属于中档题.21.已知函数
15、(为自然对数的底数).(1)若在上单调递増,求实数的取值范围;(2)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)求出函数的导数,解不等式得出,由题意得出,列出不等式组求出实数的取值范围;(2)由可得对任意的恒成立,然后构造函数,将问题转化为,然后对实数的取值进行分类讨论,确定函数在区间上的最小值,解出不等式可得出实数的取值范围.【详解】(1),.解不等式,得.由于函数在区间上单调递增,则,所以,解得,因此,实数的取值范围是;(2)不等式对任意的恒成立,可得对任意的恒成立,构造函数,其中,则.,构造函数,则,当时,则函数在区间上单调递增,则.当时,即当
16、时,对任意的,此时,函数在区间上单调递增,解得,此时,;当时,即当时,则存在,使得,此时,.当时,;当时,.所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即,即,得,又,所以,解得,此时.构造函数,其中,此时,函数单调递减,所以,即.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围,以及利用导数研究函数不等式恒成立问题,解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系,同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解,考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用,属于难题.22.在直角坐标系中,曲线(为参数),直线(为参数).(1)判断直线与曲线的位置关系: (2)点是曲线上的一个
17、动点,求到直线的距离的最大值.【答案】(1)相离;(2).【解析】【分析】(1)根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心,以为半径长的圆,并将直线的方程化为普通方程,计算出圆心到直线的距离,将与圆的半径进行大小比较,可得出直线与曲线的位置关系;(2)由(1)可知,到直线的距离的最大值为和圆的半径之和,从而得出结果.【详解】(1)将直线的参数方程化为普通方程得,由题意知,曲线是以点为圆心,以为半径长的圆,则圆心到直线的距离为,因此,直线与曲线相离;(2)由于直线与圆相离,则圆上任意一点到直线距离的最大值为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断,同时也考查了圆上一点到直线距离的最值,在解决直线与圆的综合问题时,通常计算出圆心到直线的距离,利用几何法求解,考查运算求解能力,属于中等题.23.已知.(1)求不等式的解集;(2)若,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用分类讨论法解不等式得解集;(2)先求出,再解不等式得解.【详解】解:(1)不等式可化为当时,所以无解;当时,所以;当时,所以.综上,不等式的解集是.(2),若,恒成立,则,解得:.【点睛】本题主要考查分类讨论法解不等式,考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.