1、山东省实验中学（中心校区）20192020学年度上学期高三学年10月调研考试数学试卷一、选择题1.集合.，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】，由于指数函数是增函数，当时，则，因此，故选B.【点睛】本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将转化为，并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.【详解】，且，解得，故选：C.【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于
2、基础题.3.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的解析式由内到外计算出的值.【详解】，因此，故选D.【点睛】本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解
3、得a1=3故选B5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.6.如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.【详解】为的中点，且为的中点，所以，.因此，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知函数的最小正周期为
4、,为了得到函数的图象,只要将的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【详解】由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象故选A考点：函数的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法：8.中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的内角、的对边分别为、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.【详解】设的内角、的对边分别为、，则，所以，两个等式相除得，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同
5、时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.9.定义在上函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：；则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，验证是否为非零常数，由此可得出正确选项.【详解】设等比数列的公比为，则.对于中的函数，该函数为“保等比数列函数”；对于中的函数，不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于中的函数，该函数为“保等比数列函数”；对于中的函数，不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选C.【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中
6、定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知函数，则（ ）A. 的图象关对称B. 的图象关于对称C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】A【解析】分析】研究函数的单调性，对称性即可得出结论【详解】解：因为函数所以解得函数的定义域为，令，可知在上单调递增，上单调递减，且在定义域上单调递增，由复合函数单调性判断方法：同増异减，可知的增区间为，减区间为，故，均错误；因为是偶函数，所以关于轴对称；故选：【点睛】本题考查了复合函数的单调性、对称性的应用，属于中档题11.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】正项
7、等比数列满足，则，即，解出，即可得到当，时的关系式，进而得到结论【详解】解：依题意，正项等比数列满足，所以，即，解得或，因为数列是正项等比数列，所以，所以，又知道，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，因为、为正整数，故等号不成立，当，时，当时，当，时，故的最小值为故选：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，一元二次方程的解法，基本不等式的应用，属于中档题12.锐角中，角、所对的边分别为、，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.【详解】，即
8、，化简得.由正弦定理边角互化思想得，即，所以，是锐角三角形，且，所以，解得，则，所以，因此，的取值范围是，故选D.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13.设等差数列的前项和为，若，则 _【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出有关首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得.因此，故答案为.【点睛】本题考查等差数列相关量的计算，常利用首项和公差建立方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.14.已
9、知函数的部分图象如图所示，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据图象得出函数的最小正周期，利用公式求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，可求出的值.【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，得，将点代入函数的解析式，得，则，故答案为，.【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式，基本步骤如下：（1）求、：，；（2）求：根据图象得出最小正周期，可得出；（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.15.已知两个非零单位向量、的夹角为.不存在，使；在方向上的投影为.则上述结论正确序号是_（请将所有正确结论都填在横线上）【答案】【解析】【分析】根据
10、平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.【详解】对于命题，命题正确；对于命题，同理可得，则，命题正确；对于命题，命题正确；对于命题，在方向上的投影为，命题错误.因此，正确命题的序号为，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.16.设函数 (为自然对数的底数），直线是曲线的切线，则的最小值为_.【答案】【解析】分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线的切线方程，可将、用表示，构造函数，利用导数可求出函数的
11、最小值，即为的最小值.【详解】设切点坐标为，设曲线在处的切线方程为，所以，曲线在处的切线方程为，即，则，构造函数，则，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.因此，的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题17.已知函数.（1）求函数的单调减区间和对称轴；（2）若不等式在上有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换以及二倍角化简，然后根据正弦函数的性质进行计算（2）由（1）可得，再根据正弦函数的
12、性质求出在区间上的值域，即可得解.【详解】解：（1）由题意由，整理，可得，函数的单调减区间为：，又，解得，函数的对称轴方程为：，（2），要使不等式有解，必须的取值范围为，【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及二倍角相关导出公式进行化简，正弦函数的性质，不等式的性质，属于中档题18.等比数列的公比，且是、的等差中项.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题中条件得出，求出的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.【详解】（1）由题意可得，即，解得.因此，数列的通项公式
13、为；（2），上式下式得，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.19.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；（2）利用正弦定理得出，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.【详解】（1），且，即，即，化简得，则，得.，；（2）由正弦定理得，则，所以，为锐角，且，则，当时，取得最大值.【点睛】
14、本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.20.已知数列中，前项和为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）构造，两式作差得到即可得到即可得证（2）利用裂项相消法求和【详解】解：（1）证明：令得，得， 在中可约去得，即，又，是以首项为1，公差为1的等差数列（2）易得，【点睛】本题考查由证明数列为等差数列以及裂项相消法求和，属于中档题.21.已知函数
15、（为自然对数的底数）.（1）若在上单调递増，求实数的取值范围；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解不等式得出，由题意得出，列出不等式组求出实数的取值范围；（2）由可得对任意的恒成立，然后构造函数，将问题转化为，然后对实数的取值进行分类讨论，确定函数在区间上的最小值，解出不等式可得出实数的取值范围.【详解】（1），.解不等式，得.由于函数在区间上单调递增，则，所以，解得，因此，实数的取值范围是；（2）不等式对任意的恒成立，可得对任意的恒成立，构造函数，其中，则.，构造函数，则，当时，则函数在区间上单调递增，则.当时，即当
16、时，对任意的，此时，函数在区间上单调递增，解得，此时，；当时，即当时，则存在，使得，此时，.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，即，得，又，所以，解得，此时.构造函数，其中，此时，函数单调递减，所以，即.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数）.（1）判断直线与曲线的位置关系： （2）点是曲线上的一个
17、动点，求到直线的距离的最大值.【答案】（1）相离；（2）.【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，并将直线的方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离，将与圆的半径进行大小比较，可得出直线与曲线的位置关系；（2）由（1）可知，到直线的距离的最大值为和圆的半径之和，从而得出结果.【详解】（1）将直线的参数方程化为普通方程得，由题意知，曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，则圆心到直线的距离为，因此，直线与曲线相离；（2）由于直线与圆相离，则圆上任意一点到直线距离的最大值为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，同时也考查了圆上一点到直线距离的最值，在解决直线与圆的综合问题时，通常计算出圆心到直线的距离，利用几何法求解，考查运算求解能力，属于中等题.23.已知.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出，再解不等式得解.【详解】解：（1）不等式可化为当时，所以无解；当时，所以；当时，所以.综上，不等式的解集是.（2），若，恒成立，则，解得：.【点睛】本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.