1、11.2余弦定理(一)明目标、知重点1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.2余弦定理的推论cos A；cos B；cos C.情境导学我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及
2、其应用探究点一利用向量法证明余弦定理问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？思考1如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角来解三角形”？答已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c，B，A.思考2我们可以先研究计算第三边长度的问题，联系已经学过的知识和方法，我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式？答由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题思考3如图，设a，b，c，由知cab，那么，如何用a，b和角C表示出边c呢？答|c|2
3、cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a|b|cos C.所以c2a2b22abcos C.同理可以证明：a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B.小结余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.思考4我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？答如下图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)
4、，BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A，即a2b2c22bccos A.同理可证：b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.例1在ABC中，已知b60 cm，c34 cm，A41，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm)解根据余弦定理，a2b2c22bccos A60234226034cos 411 676.82，所以a41(cm)由正弦定理得，sin C0.544 0.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C33，B180(AC)180(4133)106.反思与感悟解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，
5、而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手跟踪训练1在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解由余弦定理得c2a2b22abcos C84，所以c，由正弦定理得sin A，因为ba，所以BA，因为A为锐角，所以A30.探究点二余弦定理的应用思考1余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答从余弦定理的三个关系式中，分离出角的余弦，又可得到以下推论：cos A，cos B，cos C.思考2根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
6、(2)已知三角形的三条边就可以求出其它角例2在ABC中，已知a134.6 cm，b87.8 cm，c161.7 cm，解三角形(角度精确到1)解cos A0.554 3，A5620.cos B0.839 8，B3253.C180(AB)180(56203253)9047.反思与感悟已知三边求三角：余弦值是正值时，角是锐角；余弦值是负值时，角是钝角跟踪训练2在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状解因为abcsin Asin Bsin C245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，cos Cbc，C为最小角，由余弦定理cos C.C.3如果等腰三角形的周长是底
7、边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析设顶角为C，因为l5c，且ab2c，C为最小角，由余弦定理得：cos C.4在ABC中，已知A60，最大边长和最小边长恰好是方程x27x110的两根，则第三边的长为_答案4解析设最大边为x1，最小边为x2，则x1x27，x1x211，第三边长4.呈重点、现规律1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简
8、找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系3余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角一、基础过关1在ABC中，已知a2，则bcos Cccos B等于()A1 B. C2 D4答案C解析bcos Cccos Bbca2.2在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于()A
9、. B. C. D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，ba，cos B.3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A90 B120C135 D150答案B解析设中间角为，则cos ，60，18060120为所求4在ABC中，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或答案D解析(a2c2b2)tan Bac，tan B，即cos Btan Bsin B.0B0，b0)，则最大角为_答案120解析易知：a，b，设最大角为，则cos ，120.7在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长解由条件知：cos A，设中线长为x，由余弦定理
10、知：x22AB22ABcos A429224949，所以x7.所以AC边上的中线长为7.二、能力提升8在ABC中，sin2，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cos A，a2b2c2，符合勾股定理9如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为()A50 m B45 mC50 m D47 m答案C解析依题意得OD100 m，CD150 m，连接
11、OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理有OC2OD2CD22ODCDcosODC，即OC2100215022100150，解得OC50(m)10在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是_答案解析cos C，sin C.ADACsin C.11在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长解(1)cos Ccos(AB)cos(AB).又C(0，180)，C120.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2a2b22abcos 120(ab)2ab10，AB.12在ABC中，已知ab4，ac2b，且最大角为120，求三边长解由，得.abc，A120，a2b2c22bccos 120，即(b4)2b2(b4)22b(b4)，即b210b0，解得b0(舍去)或b10.当b10时，a14，c6.三、探究与拓展13在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断三角形的形状解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(c2a2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形
