1、第二部分专题六第3讲(理科)专题训练二十三导数的简单应用与定积分一、选择题1(2019湖北八市联考)已知直线yax是曲线yln x的切线,则实数a(C)ABCD【解析】设切点为(x0,ln x0)(ln x),曲线yln x在点(x0,ln x0)处的切线的斜率为,切线方程为yln x0(xx0),即yln x01切线方程为yax,解得.故选C2函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的图象可能是(D)【解析】观察导函数f(x)的图象可知,f(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知,排除
2、A,C如图所示,f(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x20,故选项D正确故选D3(2020河南模拟)过原点引yext的切线,若切线斜率为,则t(D)AeBC2eD【解析】设切点坐标为(x0,y0),则yexex0x01,又(e1t)t故选D4(2020衡阳模拟)若函数f(x)axexex在R上单调递减,则实数a的取值范围为(A)Aa2Ba1Ca1Da2【解析】由题意可得,f(x)a(exex)0恒成立,即aexex,exex2,a2,故选A5(2020龙岩模拟)已知函数f(x)ax在(1,)上有极值,则实数a的取值范围为(B)ABCD
3、【解析】f(x)a,设g(x),函数f(x)在区间(1,)上有极值,f(x)g(x)a在(1,)上有变号零点,令t,由x1可得ln x0,即t0,得到ytt22,a.故选B6(2020运城三模)函数f(x)xex2ln x2x的最小值为(C)A2ln 2Bln 2C22ln 2D2ln 2【解析】因为f(x)xex2ln x2x,设tln xx,则tR,且f(x)et2t,设g(t)et2t,则g(t)et2,g(t)在(,ln 2)上单调递减,在(ln 2,)上单调递增,所以g(t)g(ln 2)22ln 2,所以g(t)的最小值为22ln 2即f(x)的最小值为22ln 2故选C7(202
4、0汉台区校级模拟)已知函数f(x)x2aln x1在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围是(A)A(2,18)B2,18C(,218,)D2,18)【解析】因为f(x)2x,x0,当a0时,f(x)0恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a0时,f(x)0可得,x,f(x)0可得0x,因为f(x)x2aln x1在(1,3)内不是单调函数,所以13,解可得,2a18故选A8(2020鹿城区校级模拟)已知函数f(x)ax3bx2cx,其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)、(2,0),如图所示,则下列命题正确的是(D)A当x时函数取得极小值Bf(x)有两个极大值点Cf(1
5、)0Dabc0【解析】函数f(x)ax3bx2cx,其导函数yf(x)3ax22bxc,由函数的图象可知,a0,f(1)0,f(2)0,x1,x2是函数的两个极值点,f(1)是极大值,f(2)是极小值,所以B,C不正确;A不正确;f(x)3ax22bxc,由图象可得0,b0,0,所以c0,可得abc0,所以D正确;故选D二、填空题9(2020名校联盟质量监测)曲线y(2x1)ex在点(0,1)处的切线方程为_yx1_.【解析】y(2x1)exy2ex(2x1)ex函数y(2x1)ex在x0处的切线斜率为1,又切点坐标为(0,1),切线方程为yx110(2020江苏百校联考)函数f(x)ln x
6、2x2的单调减区间为_.【解析】因为f(x)ln x2x2,则f(x)4x,令f(x),所以函数的单调递减区间为.11(2020江苏省淮安六校联考)若函数f(x)在区间(0,2)上有极值,则实数a的取值范围为_(1,1)_.【解析】f(x)f(x).当xa1时,f(x)0,所以函数f(x)单调递减;当x0,所以函数f(x)单调递增,要想函数f(x)在区间(0,2)上有极值,只需0a121a1,所以实数a的取值范围为(1,1)12(2020陕西省汉中市质检)函数f(x)2ax3x2,aR,当x时,函数f(x)仅在x1处取得最大值,则a的取值范围是_.【解析】f(x)6ax2(6a3)x3.若a0
7、,则f(x)0在上恒成立,f(x)在上单调递减,不合题意;若a0,由f(x)0,得x10,当a时,0,f(x)在上单调递增,符合题意;当0a时,1,f(x)在上单调递减,不合题意;当a时,00f(0),即a.综上,实数a的取值范围为.三、解答题13(2019兰州模拟)已知常数a0,f(x)aln x2x.(1)当a4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于a时,求实数a的取值范围【解析】(1)由已知得f(x)的定义域为(0,),f(x)2.当a4时,f(x).所以当0x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值,且在x2时,f(x)取得极小值f(2)4
8、4ln 2所以当a4时,f(x)只有极小值44ln 2(2)因为f(x),所以当a0,x(0,)时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上单调递增,没有最小值;当a0得,x,所以f(x)在上单调递增;由f(x)0得,x,所以f(x)在上单调递减所以当a0时,f(x)的最小值为faln a.根据题意得faln aa,即aln (a)ln 20因为a0,(当且仅当x0时等号才成立,故此处无等号)a2实数a的取值范围为(2,)(2)由题意得F(x)ex(x2)b(x2)2,f(x)ex(x1)2b(x2)设(x)ex(x1)2b(x2),则(x)xex2b,又x(0,),b,(x)0,f(x)单调递增
9、,又f(0)4b10,存在t(0,1)使得f(t)et(t1)2b(t2)0,且当x(0,t)时,f(x)0,F(x)单调递增,F(x)minF(t)et(t2)b(t2)2et(t2)(t2)2et.设h(t)et,t(0,1),则h(t)et0,h(t)在t(0,1)上单调递减,又h(0)1,h(1)e,F(x)min(e,1),故F(x)最小值的取值范围为(e,1)15(2019济南二模)已知函数f(x)(x1)exax2(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a1时,函数g(x)f(x)xexx的最大值为m,求不超过m的最大整数【解析】(1)f(x)xex2axx(ex2a),当a0时,x
10、(,0)时,f(x)0,f(x)单调递减;x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增;当0a时,x(,ln 2a)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(ln 2a,0)时,f(x)0,f(x)单调递减;x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增;当a时,x(,)时,f(x)0,f(x)单调递增;当a时,x(,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(0,ln 2a)时,f(x)0,f(x)单调递减;x(ln 2a,)时,f(x)0,f(x)单调递增综上,当a0时,f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增;当0a时,f(x)在(,ln 2a)上单调递增,在(ln 2a,0)上单调递减,
11、在(0,)上单调递增;当a时,f(x)在R上单调递增;当a时,f(x)在(,0)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,)上单调递增(2)g(x)exx2x,g(x)ex2x1,g(x)ex2,当x(0,ln 2)时,g(x)0,g(x)单调递增;x(ln 2,)时,g(x)0,g(x)单调递减;g(0)0,g(1)3e0,g4e0,所以,存在唯一的x0,使g(x0)0,即ex02x01,所以,当x0(0,x0)时,g(x)0,g(x)单调递增;x(x0,)时,g(x)0,g(x)单调递减;所以mg(x0)ex0xx0(2x01)xx0xx012,又x0,所以,m.所以,不超过m的最大整数为1