1、2020-2021学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷一.填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1若复数z满足z2+40,则z 2已知抛物线C:y24x的焦点为F,点A为抛物线C上一点,若|AF|3,则点A的横坐标为 3若复数z满足0,其中i是虚数单位,则z的虚部为 4焦点在x轴上的双曲线3x2y2m焦距长为4,则实数m的值为 5已知直线(t为参数,tR)和圆C:(为参数,R)交于P,Q两点,则|PQ|的长为 6已知关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2,且|x1|+|x2|3,则实数a的值为 7若复数z1,z2满足|z1|
2、z2|3,|z1+z2|3,则|2z1z2|的值是 8设P(x,y)是曲线C:+1上的点,F1(4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|的最大值 9如果M是椭圆上的动点,N是椭圆上的动点,那么OMN面积的最大值为 10设复数z满足|z|1,且使得关于x的方程zx2+2x+30有实根,则这样的复数z的和为 11已知方程x+a有两个不等的实根,则实数a的取值范围为 12已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆M:x2+y24上的两点,且x1x2+y1y2,设P(x0,y0)为弦AB上一点,且,则|3x0+4y010|的最小值为 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13已知双曲
3、线左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线C的左支于A,B两点,且|AB|6,若ABF2的周长为28,则双曲线C的渐近线方程为()A3x4y0B4x3y0C3x8y0D8x3y014已知互异的复数a,b满足ab0,集合a,ba2,b2,则a+b()A2B1C0D115已知定圆M:(x3)2+y216,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能是:椭圆;双曲线;抛物线;圆;直线;一个点其中所有可能的结果有()A2个B3个C4个D5个16已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M,且三
4、条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3,且k1、k2、k3均不为0O为坐标原点,若直线OD、OE、OM的斜率之和为1则()AB3CD三.解答题(本大题共5题,共76分)17(14分)已知圆C:(x1)2+(y+2)220,点P(3,0)为圆C上一点(1)过点P的直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)Q是圆C上一动点(异于点P),求PQ中点M的轨迹方程18(14分)已知点A(1,0)和点B关于直线l:x+y10对称(1)若直线l1过点B,且使得点A到直线l1的距离最大,求直线l1的方程;(2)若直线l2过点A且与直线l交于点C,ABC的面积为2,求直线l2的方程19(14分)i为虚数单位,z
5、a+bi(a,bR)且是纯虚数(1)求|z2|的取值范围;(2)若,求4vu2的最小值20(16分)如图,已知椭圆经过圆N:x2+(y+1)24与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点(1)求椭圆M的方程;(2)若点P为椭圆M上的动点,点Q为圆N上的动点,求线段PQ长的最大值;(3)若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点,交圆N于C、D两点,且满足,求证:线段AB的中点E在定直线上21(18分)设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1,P2两点,已知|P1P2|8(1)求抛物线C的方程;(2)设m0,过点M(m,0)作方向向量为的直线与抛物线C相交于A
6、,B两点,求使AFB为钝角时实数m的取值范围;(3)对给定的定点M(3,0),过M作直线与抛物线C相交于A,B两点,问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由对M(m,0)(m0),过M作直线与抛物线C相交于A,B两点,问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明)2020-2021学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1若复数z满足z2+40,则z2i【分析】设复数za+bi(a,b
7、R)满足z2+40,代入化为a2b2+4+2abi0,利用复数相等即可得出【解答】解:设复数za+bi(a,bR)满足z2+40,(a+bi)2+40,化为a2b2+4+2abi0,a2b2+40,2ab0,解得z2i故答案为:2i2已知抛物线C:y24x的焦点为F,点A为抛物线C上一点,若|AF|3,则点A的横坐标为2【分析】设出点A的坐标,利用抛物线的方程以及定义即可求解【解答】解:设A(m,n),由抛物线的方程可知:p2,则由抛物线的定义可得:|AF|m+m+13,所以m2,故答案为:23若复数z满足0,其中i是虚数单位,则z的虚部为1【分析】由已知可得zi12i0,变形后利用复数代数形
8、式的乘除运算化简得答案【解答】解:由0,得zi12i0,z,z的虚部为1故答案为:14焦点在x轴上的双曲线3x2y2m焦距长为4,则实数m的值为3【分析】由题意画双曲线方程为标准方程,求得a2,b2的值,进一步求得c,结合焦距长为4求解m的值【解答】解:双曲线3x2y2m的焦点在x轴上,m0,化双曲线方程为,则,b2m,即,得,即m3故答案为:35已知直线(t为参数,tR)和圆C:(为参数,R)交于P,Q两点,则|PQ|的长为2【分析】直接利用转换关系,把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直线的距离和垂径定理的应用求出结果【解答】解:直线(t为参数,转换为直角坐标方
9、程为2xy+50,圆C:(为参数,R)转换为直角坐标方程为x2+y216,所以圆心(0,0)到直线2xy+50的距离d,所以|PQ|2故答案为:26已知关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2,且|x1|+|x2|3,则实数a的值为【分析】关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2,可得0,解得a1利用根与系数的关系x1+x22a,x1x2a24a+40设x1m+ni,x2mni(m,nR)则,利用|x1|+|x2|3,可得23解出即可【解答】解:关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2,4a24(a24a+4)16(a1)
10、0,解得a1x1+x22a,x1x2a24a+40设x1m+ni,x2mni(m,nR)|x1|+|x2|3,23m24m+4,m1,解得m故答案为:7若复数z1,z2满足|z1|z2|3,|z1+z2|3,则|2z1z2|的值是3【分析】设z1a+bi,z2c+di,求出a2+b2c2+d29以及ac+bd0,再得到|2z1z2|的值即可【解答】解:设z1a+bi,z2c+di,|z1|z2|3,a2+b2c2+d29,|z1+z2|3,3,a2+2ac+c2+b2+2bd+d218,18+2(ac+bd)18,ac+bd0,|2z1z2|3,故答案为:38设P(x,y)是曲线C:+1上的点
11、,F1(4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|的最大值10【分析】先将曲线方程化简,再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10【解答】解:曲线C可化为:1,它表示顶点分别为(5,0),(0,3)的平行四边形,根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10,当且仅当点P为(5,0),(0,3)时取最大值,故答案为109如果M是椭圆上的动点,N是椭圆上的动点,那么OMN面积的最大值为12【分析】借助椭圆的参数方程,和平面向量的数量积的坐标表示,通过三角函数的有界性可求结果【解答】解:OMN面积S|sinMON,设(x1,y1),(x2,y2),可得(|)2()
12、2(x12+y12)(x22+y22)(x1x2+y1y2)2x12y22+x22y122x1x2y1y2(x1y2x2y1)2,所以S|x1y2x2y1|,由题意可设M(4cos,3sin),N(8cos,6sin),则S|24cossin24sincos|12|sin()|,当sin()1时,即2k,kZ时,S取得最大值12故答案为:1210设复数z满足|z|1,且使得关于x的方程zx2+2x+30有实根,则这样的复数z的和为【分析】先设za+bi(a,bR),代入方程后结合复数相等条件可求a,b,进而可求【解答】解:设za+bi(a,bR),由|z|1得,a2+b21,zx2+2x+30
13、,则(a+bi)x2+2(abi)x+30,即ax2+2ax+3+(bx22bx)i0,所以,若b0,则a1或a1,检验得,a1时,得x1(舍),当a1时,x1或x3,z1,当b0时,得x0或x2,当b0,x0时,此时x不存在,当b0,x2时,a,b,此时zi,故1故答案为:11已知方程x+a有两个不等的实根,则实数a的取值范围为(1,)【分析】设方程左边为yx+a表示一条直线,方程右边y为圆心为坐标原点,半径为1的半圆,根据题意画出图形,当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离dr,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出此时a的值结合图形求解即可【解答】解:根据题意画出图形,如图所示:yx
14、+a表示一条直线,方程右边y,当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离dr,即,解得:a或a(舍去),则当直线与半圆有两个公共点,即方程方程x+a有两个不等的实根,此时a的取值范围为(1,)故答案为:(1,)12已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆M:x2+y24上的两点,且x1x2+y1y2,设P(x0,y0)为弦AB上一点,且,则|3x0+4y010|的最小值为105【分析】先由题设条件得到:,进而得到:x02+y022,从而有点P的轨迹为圆x2+y22,再由|3x0+4y010|5,其几何意义为圆x2+y22上一点到直线3x+4y100的距离的5倍,结合直线与圆的位置关系分析可得的最小
15、值,计算即可得答案【解答】解:由题设可得:(x0x1,y0y1),(x2x0,y2y0),即,9(x02+y02)(x1+2x2)2+(y1+2y2)2(x12+y12)+4(x22+y22)+4(x1x2+y1y2),A(x1,y1),B(x2,y2)为圆M:x2+y24上的两点,且x1x2+y1y2,9(x02+y02)4+44218,即x02+y022,点P的轨迹为圆x2+y22,又|3x0+4y010|5,其几何意义为圆x2+y22上一点到直线3x+4y100的距离的5倍,又圆x2+y22的圆心(0,0)到直线3x+4y100的距离d2,圆x2+y22上一点到直线3x+4y100的距离
16、的最小值为dr2,|3x0+4y010|55(2)105,故答案为:105二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13已知双曲线左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线C的左支于A,B两点,且|AB|6,若ABF2的周长为28,则双曲线C的渐近线方程为()A3x4y0B4x3y0C3x8y0D8x3y0【分析】由双曲线的定义推出|AF2|+|BF2|(|AF1|+|BF1|)4a,结合|AB|AF1|+|BF1|6,利用ABF2的周长为28,转化求解双曲线C的实半轴长,则渐近线方程可求【解答】解:由双曲线的定义可得|AF2|AF1|BF2|BF1|2a,则|AF2|+|BF2|
17、(|AF1|+|BF1|)4a,|AB|AF1|+|BF1|6,|AF2|+|BF2|4a+6,ABF2的周长为28,|AB|+|AF2|+|BF2|28,得|AF2|+|BF2|22,则4a+622,解得a4,又b3,且双曲线的焦点在x轴上,双曲线C的渐近线方程为y,即3x4y0故选:A14已知互异的复数a,b满足ab0,集合a,ba2,b2,则a+b()A2B1C0D1【分析】根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论【解答】解:根据集合相等的条件可知,若a,ba2,b2,则或,由得,ab0,a0且b0,即a1,b1,此时集合1,1不满足条件由得,若ba2,ab2,则两式相减得a2b2
18、ba,即(ab)(a+b)(ab),互异的复数a,b,ab0,即a+b1,故选:D15已知定圆M:(x3)2+y216,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能是:椭圆;双曲线;抛物线;圆;直线;一个点其中所有可能的结果有()A2个B3个C4个D5个【分析】Q是线段PA的中垂线上的点,可得QAPQ对点A的位置分类讨论,利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论【解答】解:Q是线段PA的中垂线上的点,QAPQ,(1)若A在圆M内部,则MA4,QM+QAQM+QP4,Q点轨迹是以M,A为焦点的椭圆(2)若A在圆M外部,则
19、|QAQM|PQQM|PM4,MA4,Q点轨迹是以A,M为焦点的双曲线(3)若A在圆M上,则PA的中垂线恒过圆心M,即Q的轨迹为点M(4)若A为圆M的圆心,即A与M重合时,Q为半径PM的中点,Q点轨迹是以M为圆心,以2为半径的圆综上,Q点轨迹可能是四种情况故选:C16已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M,且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3,且k1、k2、k3均不为0O为坐标原点,若直线OD、OE、OM的斜率之和为1则()AB3CD【分析】设出A,B,C的坐标,通过平方差法转化为求解斜率,然后求出结果即可【解答】解:设A(x1,y1)
20、,B(x2,y2),C(x3,y3),把A,B两点代入椭圆方程可得:,两式作差可得:,则,所以,同理可得:,所以,故选:A三.解答题(本大题共5题,共76分)17(14分)已知圆C:(x1)2+(y+2)220,点P(3,0)为圆C上一点(1)过点P的直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)Q是圆C上一动点(异于点P),求PQ中点M的轨迹方程【分析】(1)由题意可得点P在圆上,则lPC,可得直线l的斜率,由点斜式即可求得切线方程;(2)设点M的坐标,转移到Q点,代入圆C的方程即可得解【解答】解:(1)圆C:(x1)2+(y+2)220的圆心为C(1,2),半径r,因为(31)2+(0+2)22
21、0,所以点P(3,0)在圆C上,所以lPC,因为kPC,所以kl2,所以直线l的方程为y02(x+3),即y2x+6(2)设M(x,y),则Q(2x+3,2y),因为点Q在圆C上,代入圆的方程可得(2x+31)2+(2y+2)220,整理得(x+1)2+(y+1)25,故PQ中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2518(14分)已知点A(1,0)和点B关于直线l:x+y10对称(1)若直线l1过点B,且使得点A到直线l1的距离最大,求直线l1的方程;(2)若直线l2过点A且与直线l交于点C,ABC的面积为2,求直线l2的方程【分析】(1)由点关于直线的对称点的求法求出点B的坐标,当AB与
22、过B的直线垂直时,点A到l1的距离最大,可得直线l1的方程;(2)由(1)可得线段AB的长,设C的坐标,由面积可得C到线段AB的中点D的距离,鸡儿求出C的坐标,正确直线AC的方程【解答】解:(1)由题意设B(m,n),由题意可得,解得:m1,n2,即B(1,2),当直线l1AB时,A到直线l1的距离最大,所以kkAB1,所以直线l1的方程为:y2(x1),即直线l1的方程为:x+y30(2)因为ABl,设线段AB的中点为D,由(1)可得|AB|2,则D(0,1),则CDAB,由题意设C(x0,x0+1),所以SABC|AB|CD|CD|2,所以|CD|,而|CD|所以x021,所以x01,即C
23、(1,0)或(1,2),所以直线l2的方程为:x1或y019(14分)i为虚数单位,za+bi(a,bR)且是纯虚数(1)求|z2|的取值范围;(2)若,求4vu2的最小值【分析】(1)根据题意可得a0 或 a2+b21,且 b0,然后再分别讨论,由复数的模的计算公式即可求出|z2|的范围;(2)直接利用复数的化简和均值不等式,求出最小值【解答】解:(1)za+bi(a,bR),且a+bia+bi(a)+(b+)i是纯虚数,a0,且 b+0,a0 或 a2+b21,且 b0若a0,则zbi,满足 bi(b+)i 为纯虚数此时,|z2|bi2|2,即|z2|(2,+)若 a2+b21,则|z|1
24、,|z|2|z2|z|+2,即 0|z2|3,故|z2|的范围为0,3)综上,当a0时,|z2|的范围为(2,+);当 a2+b21时,|z2|的范围为0,3)(2)因为a2+b21,所以,所以,(当且仅当a时,等号成立)故最小值为120(16分)如图,已知椭圆经过圆N:x2+(y+1)24与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点(1)求椭圆M的方程;(2)若点P为椭圆M上的动点,点Q为圆N上的动点,求线段PQ长的最大值;(3)若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点,交圆N于C、D两点,且满足,求证:线段AB的中点E在定直线上【分析】(1)由圆N的方程可得x,y轴的交点坐标,再由题意椭圆过圆
25、N与x轴、y轴正半轴的交点,求出a,b的值,进而求出椭圆的方程;(2)因为|PQ|PN|+|NQ|PN|+2,求出PN的最大值即可,因为N的坐标(0,1),设P的坐标,代入椭圆的方程,由P的横纵坐标的关系,列出|PN|的表达式,求出PN的最大值,进而求出PQ的最大值;(3)设直线l的方程,及A,B,C,D的坐标,联立直线与椭圆,与圆的方程,求出两根之和,及两根之积,因为,可得A,B,C,D的坐标之间的关系,可得AB的中点E的坐标,可得中点E在直线上【解答】解:(1)在方程x2+(y+1)24中,令y0,x0,解得,令x0,y0,解得y1,b1椭圆M方程为:;(2)因为|PQ|PN|+|NQ|P
26、N|+2,设P(x,y),N(0,1),则,时,;(3)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),x3x1x2x4,y3y1y2y4x1+x2x3+x4,y1+y2y3+y4,设l:ykx+m(k0),代入得:即:,代入x2+(y+1)24得:x2+(kx+m+1)24,即(k2+1)x2+2k(m+1)x+(m+1)240,y1+y2k(x1+x2)+2m3k2+2m3(m)+2m1,所以中点E在直线上(x0)解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),x3x1x2x4,y3y1y2y4,x1+x2x3+x4,y1
27、+y2y3+y4,E也是弦CD的中点,ENDC,ENAB,|AN|BN|,代入化简,得:(y1y2)(y1+y21)0,y1y20,y1+y21,所以点E在直线上,(x0)21(18分)设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1,P2两点,已知|P1P2|8(1)求抛物线C的方程;(2)设m0,过点M(m,0)作方向向量为的直线与抛物线C相交于A,B两点,求使AFB为钝角时实数m的取值范围;(3)对给定的定点M(3,0),过M作直线与抛物线C相交于A,B两点,问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请
28、说明理由对M(m,0)(m0),过M作直线与抛物线C相交于A,B两点,问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明)【分析】(1)根据|P1P2|8,可得2p8,从而可得抛物线C的方程;(2)直线方程代入y28x得一元二次方程,用坐标表示向量,利用AFB为钝角,可得,从而可得不等式,由此可求实数m的取值范围;(3)设过M所作直线方程为yk(x3)代入y28x,求出|AB|,设存在直线xx0满足条件,则可得对任意k恒成立,此时直线不存在;对参数m讨论,可得结论【解答】解:(1)由条件得2p8,抛物线C的方程为y28x;(2)直线方程为代入y28x得3x2(6m+8)x+3m20,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(2,0),则,(6分)AFB为钝角,(x12)(x22)+y1y20,即,(8分)因此3m236m40,又由m0,则综上可得(10分)(3)设过M所作直线方程为yk(x3)代入y28x得ky28y24k0,(11分)设A(x1,y1),B(x2,y2),则,AB中点,(12分)(13分)设存在直线xx0满足条件,则,(14分)对任意k恒成立,无解,这样的直线不存在 (16分)当m2时,存在直线x2满足条件;(17分)当m2且m0时,直线不存在 (18分)