1、2020-2021学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1若复数z满足z2+40，则z 2已知抛物线C：y24x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|3，则点A的横坐标为 3若复数z满足0，其中i是虚数单位，则z的虚部为 4焦点在x轴上的双曲线3x2y2m焦距长为4，则实数m的值为 5已知直线（t为参数，tR）和圆C：（为参数，R）交于P，Q两点，则|PQ|的长为 6已知关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|3，则实数a的值为 7若复数z1，z2满足|z1|
2、z2|3，|z1+z2|3，则|2z1z2|的值是 8设P（x，y）是曲线C：+1上的点，F1（4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值 9如果M是椭圆上的动点，N是椭圆上的动点，那么OMN面积的最大值为 10设复数z满足|z|1，且使得关于x的方程zx2+2x+30有实根，则这样的复数z的和为 11已知方程x+a有两个不等的实根，则实数a的取值范围为 12已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆M：x2+y24上的两点，且x1x2+y1y2，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且，则|3x0+4y010|的最小值为 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13已知双曲
3、线左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|6，若ABF2的周长为28，则双曲线C的渐近线方程为（）A3x4y0B4x3y0C3x8y0D8x3y014已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，ba2，b2，则a+b（）A2B1C0D115已知定圆M：（x3）2+y216，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点其中所有可能的结果有（）A2个B3个C4个D5个16已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三
4、条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1则（）AB3CD三.解答题（本大题共5题，共76分）17（14分）已知圆C：（x1）2+（y+2）220，点P（3，0）为圆C上一点（1）过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）Q是圆C上一动点（异于点P），求PQ中点M的轨迹方程18（14分）已知点A（1，0）和点B关于直线l：x+y10对称（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，ABC的面积为2，求直线l2的方程19（14分）i为虚数单位，z
5、a+bi（a，bR）且是纯虚数（1）求|z2|的取值范围；（2）若，求4vu2的最小值20（16分）如图，已知椭圆经过圆N：x2+（y+1）24与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点（1）求椭圆M的方程；（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足，求证：线段AB的中点E在定直线上21（18分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|8（1）求抛物线C的方程；（2）设m0，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A
6、，B两点，求使AFB为钝角时实数m的取值范围；（3）对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由对M（m，0）（m0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）2020-2021学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1若复数z满足z2+40，则z2i【分析】设复数za+bi（a，b
7、R）满足z2+40，代入化为a2b2+4+2abi0，利用复数相等即可得出【解答】解：设复数za+bi（a，bR）满足z2+40，（a+bi）2+40，化为a2b2+4+2abi0，a2b2+40，2ab0，解得z2i故答案为：2i2已知抛物线C：y24x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|3，则点A的横坐标为2【分析】设出点A的坐标，利用抛物线的方程以及定义即可求解【解答】解：设A（m，n），由抛物线的方程可知：p2，则由抛物线的定义可得：|AF|m+m+13，所以m2，故答案为：23若复数z满足0，其中i是虚数单位，则z的虚部为1【分析】由已知可得zi12i0，变形后利用复数代数形
8、式的乘除运算化简得答案【解答】解：由0，得zi12i0，z，z的虚部为1故答案为：14焦点在x轴上的双曲线3x2y2m焦距长为4，则实数m的值为3【分析】由题意画双曲线方程为标准方程，求得a2，b2的值，进一步求得c，结合焦距长为4求解m的值【解答】解：双曲线3x2y2m的焦点在x轴上，m0，化双曲线方程为，则，b2m，即，得，即m3故答案为：35已知直线（t为参数，tR）和圆C：（为参数，R）交于P，Q两点，则|PQ|的长为2【分析】直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离和垂径定理的应用求出结果【解答】解：直线（t为参数，转换为直角坐标方
9、程为2xy+50，圆C：（为参数，R）转换为直角坐标方程为x2+y216，所以圆心（0，0）到直线2xy+50的距离d，所以|PQ|2故答案为：26已知关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|3，则实数a的值为【分析】关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2，可得0，解得a1利用根与系数的关系x1+x22a，x1x2a24a+40设x1m+ni，x2mni（m，nR）则，利用|x1|+|x2|3，可得23解出即可【解答】解：关于x的实系数方程x22ax+a24a+40的两虚根为x1、x2，4a24（a24a+4）16（a1）
10、0，解得a1x1+x22a，x1x2a24a+40设x1m+ni，x2mni（m，nR）|x1|+|x2|3，23m24m+4，m1，解得m故答案为：7若复数z1，z2满足|z1|z2|3，|z1+z2|3，则|2z1z2|的值是3【分析】设z1a+bi，z2c+di，求出a2+b2c2+d29以及ac+bd0，再得到|2z1z2|的值即可【解答】解：设z1a+bi，z2c+di，|z1|z2|3，a2+b2c2+d29，|z1+z2|3，3，a2+2ac+c2+b2+2bd+d218，18+2（ac+bd）18，ac+bd0，|2z1z2|3，故答案为：38设P（x，y）是曲线C：+1上的点
11、，F1（4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值10【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10【解答】解：曲线C可化为：1，它表示顶点分别为（5，0），（0，3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（5，0），（0，3）时取最大值，故答案为109如果M是椭圆上的动点，N是椭圆上的动点，那么OMN面积的最大值为12【分析】借助椭圆的参数方程，和平面向量的数量积的坐标表示，通过三角函数的有界性可求结果【解答】解：OMN面积S|sinMON，设（x1，y1），（x2，y2），可得（|）2（）
12、2（x12+y12）（x22+y22）（x1x2+y1y2）2x12y22+x22y122x1x2y1y2（x1y2x2y1）2，所以S|x1y2x2y1|，由题意可设M（4cos，3sin），N（8cos，6sin），则S|24cossin24sincos|12|sin（）|，当sin（）1时，即2k，kZ时，S取得最大值12故答案为：1210设复数z满足|z|1，且使得关于x的方程zx2+2x+30有实根，则这样的复数z的和为【分析】先设za+bi（a，bR），代入方程后结合复数相等条件可求a，b，进而可求【解答】解：设za+bi（a，bR），由|z|1得，a2+b21，zx2+2x+30
13、，则（a+bi）x2+2（abi）x+30，即ax2+2ax+3+（bx22bx）i0，所以，若b0，则a1或a1，检验得，a1时，得x1（舍），当a1时，x1或x3，z1，当b0时，得x0或x2，当b0，x0时，此时x不存在，当b0，x2时，a，b，此时zi，故1故答案为：11已知方程x+a有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（1，）【分析】设方程左边为yx+a表示一条直线，方程右边y为圆心为坐标原点，半径为1的半圆，根据题意画出图形，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离dr，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出此时a的值结合图形求解即可【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：yx
14、+a表示一条直线，方程右边y，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离dr，即，解得：a或a（舍去），则当直线与半圆有两个公共点，即方程方程x+a有两个不等的实根，此时a的取值范围为（1，）故答案为：（1，）12已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆M：x2+y24上的两点，且x1x2+y1y2，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且，则|3x0+4y010|的最小值为105【分析】先由题设条件得到：，进而得到：x02+y022，从而有点P的轨迹为圆x2+y22，再由|3x0+4y010|5，其几何意义为圆x2+y22上一点到直线3x+4y100的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小
15、值，计算即可得答案【解答】解：由题设可得：（x0x1，y0y1），（x2x0，y2y0），即，9（x02+y02）（x1+2x2）2+（y1+2y2）2（x12+y12）+4（x22+y22）+4（x1x2+y1y2），A（x1，y1），B（x2，y2）为圆M：x2+y24上的两点，且x1x2+y1y2，9（x02+y02）4+44218，即x02+y022，点P的轨迹为圆x2+y22，又|3x0+4y010|5，其几何意义为圆x2+y22上一点到直线3x+4y100的距离的5倍，又圆x2+y22的圆心（0，0）到直线3x+4y100的距离d2，圆x2+y22上一点到直线3x+4y100的距离
16、的最小值为dr2，|3x0+4y010|55（2）105，故答案为：105二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|6，若ABF2的周长为28，则双曲线C的渐近线方程为（）A3x4y0B4x3y0C3x8y0D8x3y0【分析】由双曲线的定义推出|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）4a，结合|AB|AF1|+|BF1|6，利用ABF2的周长为28，转化求解双曲线C的实半轴长，则渐近线方程可求【解答】解：由双曲线的定义可得|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，则|AF2|+|BF2|
17、（|AF1|+|BF1|）4a，|AB|AF1|+|BF1|6，|AF2|+|BF2|4a+6，ABF2的周长为28，|AB|+|AF2|+|BF2|28，得|AF2|+|BF2|22，则4a+622，解得a4，又b3，且双曲线的焦点在x轴上，双曲线C的渐近线方程为y，即3x4y0故选：A14已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，ba2，b2，则a+b（）A2B1C0D1【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论【解答】解：根据集合相等的条件可知，若a，ba2，b2，则或，由得，ab0，a0且b0，即a1，b1，此时集合1，1不满足条件由得，若ba2，ab2，则两式相减得a2b2
18、ba，即（ab）（a+b）（ab），互异的复数a，b，ab0，即a+b1，故选：D15已知定圆M：（x3）2+y216，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点其中所有可能的结果有（）A2个B3个C4个D5个【分析】Q是线段PA的中垂线上的点，可得QAPQ对点A的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论【解答】解：Q是线段PA的中垂线上的点，QAPQ，（1）若A在圆M内部，则MA4，QM+QAQM+QP4，Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆（2）若A在圆M外部，则
19、|QAQM|PQQM|PM4，MA4，Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线（3）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆综上，Q点轨迹可能是四种情况故选：C16已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1则（）AB3CD【分析】设出A，B，C的坐标，通过平方差法转化为求解斜率，然后求出结果即可【解答】解：设A（x1，y1）
20、，B（x2，y2），C（x3，y3），把A，B两点代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，则，所以，同理可得：，所以，故选：A三.解答题（本大题共5题，共76分）17（14分）已知圆C：（x1）2+（y+2）220，点P（3，0）为圆C上一点（1）过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）Q是圆C上一动点（异于点P），求PQ中点M的轨迹方程【分析】（1）由题意可得点P在圆上，则lPC，可得直线l的斜率，由点斜式即可求得切线方程；（2）设点M的坐标，转移到Q点，代入圆C的方程即可得解【解答】解：（1）圆C：（x1）2+（y+2）220的圆心为C（1，2），半径r，因为（31）2+（0+2）22
21、0，所以点P（3，0）在圆C上，所以lPC，因为kPC，所以kl2，所以直线l的方程为y02（x+3），即y2x+6（2）设M（x，y），则Q（2x+3，2y），因为点Q在圆C上，代入圆的方程可得（2x+31）2+（2y+2）220，整理得（x+1）2+（y+1）25，故PQ中点M的轨迹方程为（x+1）2+（y+1）2518（14分）已知点A（1，0）和点B关于直线l：x+y10对称（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，ABC的面积为2，求直线l2的方程【分析】（1）由点关于直线的对称点的求法求出点B的坐标，当AB与
22、过B的直线垂直时，点A到l1的距离最大，可得直线l1的方程；（2）由（1）可得线段AB的长，设C的坐标，由面积可得C到线段AB的中点D的距离，鸡儿求出C的坐标，正确直线AC的方程【解答】解：（1）由题意设B（m，n），由题意可得，解得：m1，n2，即B（1，2），当直线l1AB时，A到直线l1的距离最大，所以kkAB1，所以直线l1的方程为：y2（x1），即直线l1的方程为：x+y30（2）因为ABl，设线段AB的中点为D，由（1）可得|AB|2，则D（0，1），则CDAB，由题意设C（x0，x0+1），所以SABC|AB|CD|CD|2，所以|CD|，而|CD|所以x021，所以x01，即C
23、（1，0）或（1，2），所以直线l2的方程为：x1或y019（14分）i为虚数单位，za+bi（a，bR）且是纯虚数（1）求|z2|的取值范围；（2）若，求4vu2的最小值【分析】（1）根据题意可得a0 或 a2+b21，且 b0，然后再分别讨论，由复数的模的计算公式即可求出|z2|的范围；（2）直接利用复数的化简和均值不等式，求出最小值【解答】解：（1）za+bi（a，bR），且a+bia+bi（a）+（b+）i是纯虚数，a0，且 b+0，a0 或 a2+b21，且 b0若a0，则zbi，满足 bi（b+）i 为纯虚数此时，|z2|bi2|2，即|z2|（2，+）若 a2+b21，则|z|1
24、，|z|2|z2|z|+2，即 0|z2|3，故|z2|的范围为0，3）综上，当a0时，|z2|的范围为（2，+）；当 a2+b21时，|z2|的范围为0，3）（2）因为a2+b21，所以，所以，（当且仅当a时，等号成立）故最小值为120（16分）如图，已知椭圆经过圆N：x2+（y+1）24与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点（1）求椭圆M的方程；（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足，求证：线段AB的中点E在定直线上【分析】（1）由圆N的方程可得x，y轴的交点坐标，再由题意椭圆过圆
25、N与x轴、y轴正半轴的交点，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）因为|PQ|PN|+|NQ|PN|+2，求出PN的最大值即可，因为N的坐标（0，1），设P的坐标，代入椭圆的方程，由P的横纵坐标的关系，列出|PN|的表达式，求出PN的最大值，进而求出PQ的最大值；（3）设直线l的方程，及A，B，C，D的坐标，联立直线与椭圆，与圆的方程，求出两根之和，及两根之积，因为，可得A，B，C，D的坐标之间的关系，可得AB的中点E的坐标，可得中点E在直线上【解答】解：（1）在方程x2+（y+1）24中，令y0，x0，解得，令x0，y0，解得y1，b1椭圆M方程为：；（2）因为|PQ|PN|+|NQ|P
26、N|+2，设P（x，y），N（0，1），则，时，；（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3x1x2x4，y3y1y2y4x1+x2x3+x4，y1+y2y3+y4，设l：ykx+m（k0），代入得：即：，代入x2+（y+1）24得：x2+（kx+m+1）24，即（k2+1）x2+2k（m+1）x+（m+1）240，y1+y2k（x1+x2）+2m3k2+2m3（m）+2m1，所以中点E在直线上（x0）解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3x1x2x4，y3y1y2y4，x1+x2x3+x4，y1
27、+y2y3+y4，E也是弦CD的中点，ENDC，ENAB，|AN|BN|，代入化简，得：（y1y2）（y1+y21）0，y1y20，y1+y21，所以点E在直线上，（x0）21（18分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|8（1）求抛物线C的方程；（2）设m0，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使AFB为钝角时实数m的取值范围；（3）对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请
28、说明理由对M（m，0）（m0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）【分析】（1）根据|P1P2|8，可得2p8，从而可得抛物线C的方程；（2）直线方程代入y28x得一元二次方程，用坐标表示向量，利用AFB为钝角，可得，从而可得不等式，由此可求实数m的取值范围；（3）设过M所作直线方程为yk（x3）代入y28x，求出|AB|，设存在直线xx0满足条件，则可得对任意k恒成立，此时直线不存在；对参数m讨论，可得结论【解答】解：（1）由条件得2p8，抛物线C的方程为y28x；（2）直线方程为代入y28x得3x2（6m+8）x+3m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），F（2，0），则，（6分）AFB为钝角，（x12）（x22）+y1y20，即，（8分）因此3m236m40，又由m0，则综上可得（10分）（3）设过M所作直线方程为yk（x3）代入y28x得ky28y24k0，（11分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，AB中点，（12分）（13分）设存在直线xx0满足条件，则，（14分）对任意k恒成立，无解，这样的直线不存在 （16分）当m2时，存在直线x2满足条件；（17分）当m2且m0时，直线不存在 （18分）