1、2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系(重点)2会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学
2、习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题 知识点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2bxc0 方程特征交点个数位置关系 a0，02相交a0，01相切直线与椭圆a0，00相离 方程特征交点个数位置关系 a01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a0，02相交a0，01相切直线与双曲线a0，00相离方程特征交点个数位置关系 a01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a0，02相交a0，01相切直线与抛物线a0，00相离 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示 不一定，当直
3、线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面上到定点 A(1，0)和到定直线 l：x2y30 的距离相等的点的轨迹为抛物线()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为 2 个()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件()答案(1)(2)(3)提示(1)(2)(3)必要不充分条件 知识点 2 弦长公式 当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线 l 的斜率为 k，与圆锥曲线 C 交于 A(x
4、1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2 11k2|y1y2|11k2 y1y224y1y2 2(1)过椭圆x213y2121 的右焦点与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 A，B 两点，则|AB|_(2)抛物线 y212x 截直线 y2x1 所得弦长等于()A 15 B 13 C2 15 D2 13(1)24 1313(2)A(1)椭圆的右焦点为(1，0)，把 x1 代入x213y2121 中得 y212213，y12 1313，|AB|24 1313(2)令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2x1，y212x得 4x28x
5、10，x1x22，x1x214，|AB|122x1x22 5x1x224x1x2 15 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】(对接教材人教 B 版 P160 例 2)对不同的实数值 m，讨论直线 yxm 与椭圆x24y21 的位置关系 解 由yxm，x24y21，得x24(xm)21，整理得 5x28mx4m240 此方程的实数根的个数由根的判别式 决定，(8m)245(4m24)16(5m2)当 5m 5时，0，方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交 当 m 5或 m 5时，0，方程有两个相
6、等的实数根，代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切 当 m 5或 m 5时，0，方程没有实数根，直线与椭圆相离 1直线与圆锥曲线的公共点有零个、一个、两个，和直线与圆锥曲线相离、相切、相交不是等价关系2在直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含有参数若含参数，则需按二次项系数是否为零进行讨论，只有当二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系 跟进训练 1已知直线 l 与抛物线 x22py(p0)只有一个交点，则直线 l与抛物线的位置关系是()A相交 B相切 C相离D相交或相
7、切 D 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 与 y 轴平行或重合时，直线 l 与抛物线 x22py(p0)有一个交点，此时直线 l 与抛物线是相交的；当直线 l 的斜率存在，直线 l 与抛物线 x22py(p0)只有一个交点时，直线 l 与抛物线相切 类型 2 弦长问题及中点弦问题 【例 2】椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程 解 法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0 而y1y2x1x21，y1y2x1x2
8、kOC 22，代入上式可得 b 2a|AB|2|x2x1|22，即(x2x1)24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，又(x1x2)24x1x2(x2x1)24，2bab24b1ab4 将b 2a代入，解得a13，b 23，所求椭圆的方程是x23 23 y21 法二：由ax2by21，xy1，得(ab)x22bxb10 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|k21x1x22 24b24abb1ab|AB|2 2，ababab1 设 C(x，y)，则 xx1x22 bab，y1x aab OC 的斜率为 22，ab 22，代入，解得 a13，b 23，所求椭圆的方程是
9、x23 23 y21 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决要考虑特殊情形；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意.跟进训练 2已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x24y231 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0)证明：k12 证明 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y2131，x224y2231 两式相减，并由y1y2x1x2k 得x1x24y1y23k0 由题设知x1x221，y1y22m，于是 k 34m 由题设得 0m32，故 k12 类型 3 圆锥曲线中的
10、最值及范围问题 【例 3】已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 3 2，其中一条渐近线的方程为 x 2y0以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，PG 2GO，求|GA|2|GB|2 的取值范围 解(1)由双曲线x2a2y2b21 的焦距为 3 2，得 c3 22，a2b292 由题意知ba 22，由解得 a23，b232，椭圆 E 的方程为x2323y21(2)由(1)知 P(3，0)设 G(x0，y0)，由PG 2GO，得(x0 3，y0)2(
11、x0，y0)即x0 32x0，y02y0，解得x0 33，y00，G 33，0 设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|GA|2|GB|2x1 332y21x1 332y212x212y21232x213x2123x21113 又x1 3，3，x210，3，113 x21113 203，|GA|2|GB|2的取值范围是113，203 求圆锥曲线中参数的范围或最值常用哪些方法？提示 1求参数范围的方法 根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围 2求最值问题的方法(1)几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像来解决(2)代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可
12、以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法、单调性法等 跟进训练 3已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA OB 2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是()A2 B3 C17 28 D 10 B 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设 y10，y20)，直线 AB的方程为 xtym，且直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m，0)由xtym，y2x，消去 x，得 y2tym0，所以 y1y2m又OA OB 2，所以 x1x2y1y22，即(y1y2)2y1y220，解得 y1y21 或
13、y1y22，又点 A，B 在抛物线上且位于 x 轴的两侧，所以 y1y22，故m2又 F14，0，于是 SABOSAFO122(y1y2)1214y198y12y1298y12y13，当且仅当98y12y1，即 y143时等号成立，所以ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3 类型 4 圆锥曲线中的定值、定点问题【例 4】设椭圆 E：x2a2y21(a1)的右焦点为 F，右顶点为 A，且 1|OF|1|OA|e|FA|，其中 O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率(1)求 E 的方程；(2)设过 F 且斜率不为零的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，过 M 作直线 m：xa2 的垂线，垂足为 M
14、1，证明：直线 M1N 恒过一定点，并求出该定点的坐标 解(1)设椭圆 E 的半焦距为 c，依题意得1c1acaac，即 a22c2 又 a21c2，故 a22，所以 E 的方程为x22y21(2)证明：由(1)得，F(1，0)，又直线 l 的斜率不为零，故可设 l的方程为 xty1，由x22y21，xty1，得(t22)y22ty10 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，又直线 m 为 x2，所以 M1(2，y1)，则 y1y2 2tt22，y1y2 1t22，所以 y1y22ty1y2 又直线 M1N 的方程为 yy2y1x22(x2)y1，又 x2ty21，所以y2y1x22y2y1
15、ty212y1y2y12ty1y22y1 2y1y2y1y1y22y12y1，所以 M1N 的方程为 y2y1(x2)y1，即 y2y1x32 故直线 M1N 恒过定点32，0 1动直线 l 过定点问题，设动直线方程斜率存在为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 ykxm，故动直线过定点m，0.2动曲线 C 过定点问题，引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.跟进训练 4已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1，2)过点 Q(0，1)的直线l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线PB 交 y
16、 轴于 N(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM QO，QN QO，求证：11为定值 解(1)因为抛物线 y22px 过点(1，2)，所以 2p4，即 p2 故抛物线 C 的方程为 y24x 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0 设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由y24x，ykx1 得 k2x2(2k4)x10 依题意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2)从而 k3 所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知 x1x22k
17、4k2，x1x21k2 直线 PA 的方程为 y2y12x11(x1)令 x0，得点 M 的纵坐标 yMy12x11 2kx11x11 2 同理得点 N 的纵坐标 yNkx21x21 2 由QM QO，QN QO 得 1yM，1yN 所以1111yM11yN x11k1x1 x21k1x2 1k12x1x2x1x2x1x2 1k12k22k4k21k2 2 所以11为定值当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1椭圆x225y241 的两个焦点为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于A，B 两点若|AB|8，则|AF1|BF1|的值为()A10 B12 C16D18 B|AB|AF1|BF
18、1|4a，|AF1|BF1|45812 1 3 5 2 4 2在抛物线 y28x 中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30Bx4y30 C4xy30D4xy30 1 3 5 2 4 C 设弦两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22 A，B 在抛物线上，y218x1，y228x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，y1y2x1x24，直线 AB 方程为 y14(x1)，即 4xy30 1 3 5 2 4 3已知双曲线 C：x2y241，过点 P(1，2)的直线 l，使 l 与 C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有()A1 条
19、 B2 条 C3 条 D4 条 B 因为双曲线的渐近线方程为 y2x，点 P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1，0)，所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条，过点 P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条 1 3 5 2 4 4若直线 xy2 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB的中点坐标是_ 1 3 5 2 4(4，2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线得方程组xy2，y24x.整理得 x28x40，所以 x1x28，y1y2x1x244，所以中点坐标为(4，2)1 3 5 2 4 5已知椭圆 C：x2a2y2b
20、21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，设|AM|e|AB|，则该椭圆的离心率 e_ 1 3 5 2 4 512 由于直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，所以 Aae，0，B(0，a)由yexax2a2y2b21消去 y，得 x22cxc20，所以 M(c，aec)由|AM|e|AB|，可知AM eAB，即cae，aeceae，a，所以 aecae，即 1e2e，解得 e 512或 512(舍去)回顾本节知识，自我完成以下问题：1解决直线与圆锥曲线位置关
21、系时需要注意什么问题？提示 解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为 0 和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切 2如何处理与弦中点有关的问题？提示(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系 3如何求解圆锥曲线中的定值、定点问题？提示(1)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 求代数式为定值依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简即可得出定值 求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得 求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得(2)圆锥曲线中定点问题的两种解法 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
