1、 11.7离散型随机变量的期望与方差【考纲要求】理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.【基础知识】（1）随机变量的均值或数学期望1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的均值或数学期望，简称期望2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值 4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量， 5.若
2、则（2）随机变量的方差1. 方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，且取这些值的概率分别是，那么称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作3.方差的性质：（1）； （2）若则。4、方差表示对的平均偏离程度，越大，表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散；越小，表示平均偏离程度越小，说明的取值越集中稳定。5、高中的方差公式和初中的方差公式在本质上时一致的。初中的方差公式为6、其它：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与
3、离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛【例题精讲】例1 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额(1)写出的分布列；(2)求数学期望E.解：(1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P(0)，P(5)，P(10)，P(15)，P(20)，P(25)，P(30).(2)E5101520253015.例2 在北京奥运会期
4、间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是，且他们之间不存在相互影响(1)求恰有3位志愿者在长城服务的概率；(2)设在故宫服务的志愿者人数为X，求X的概率分布列及数学期望由此可得X的概率分布列为X01234P所以变量X的数学期望为EX012341.11.7离散型随机变量的期望与方差强化训练【基础精练】1设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量X，则X的方差DX()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)2设随机变量的分布列如表所示且E1.6，则ab()0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.1C0.2 D0.43已知
5、随机变量8，若B(10,0.6)，则E，D分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.64一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A. B.C. D.5已知随机变量X的分布列为X123P0.20.40.4则E(6X8)()A13.2 B21.2C20.2 D22.26一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是()A. B.C. D.7随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列若E，则
6、D的值是_8抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分的期望E_.9若p为非负实数，随机变量的概率分布列如下表，则E的最大值为_，D的最大值为_.012Ppp10袋中有红、白两种颜色的小球共7个，它们除颜色外完全相同，从中任取2个，都是白色小球的概率为.甲、乙两人不放回地从袋中轮流摸取一个小球，甲先取，乙后取，然后甲再取，直到两人中有一人取到白球时即停止每个小球在每一次被取出的机会是均等的，用表示游戏停止时两人共取小球的次数(1)求P(4)；(2)求E.11 2008年北京奥运会乒乓球男子单打比赛中，我国选手马琳、王皓
7、、王励勤包揽了三块奖牌，通过对以往队内战绩的统计，三人实力相当，即在一局比赛中，每人战胜对手的概率均为0.5.(1)若王皓和王励勤之间进行三局比赛，求王励勤恰好胜两局的概率(2)若马琳和王励勤之间进行一场比赛(7局4胜制)，设所需局数为，求随机变量的分布列及数学期望12某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A
8、)；(2)求的分布列及数学期望E.【拓展提高】1. 有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数的数学期望和方差【基础精练参考答案】5. B【解析】EX10.220.430.40.20.81.22.2，E(6X8)6EX862.2813.2821.2.6. A【解析】记“同时取出的两个球中含红球个数”为X，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，EX012.7. 【解析】由ac2b，又abc1，E，则ac，ca，得a，b，c.D(1)2(0)2(1)2.8. 6【解析】抛掷4次可能出现的结果是：一正三
9、反，二正二反，三正一反，四正，四反，其对应的分数为7,6,5,4,8，所以的取值为4、5、6、7、8.设对应概率的值分别为h4、h5、h6、h7、h8.则的分布列为45678hh4h5h6h7h8h4C41；h5C34；h6C226；h7C34；h8C4；E4566786.9. 1【解析】Ep1(0p)；Dp2P11.10.【解析】(1)设袋中原有白球n个，由题意知：，即n(n1)6，解得n3，n2(舍去)P(4).(2)由题意可知，的可能取值为1、2、3、4、5，直接计算得P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，所以E123452.11【解析】(1)王励勤胜两局的概率为PC()2；
10、(2)马琳和王励勤进行比赛有两种结果，即马琳胜和王励勤胜两种情况：的取值为4,5,6,7；当4时，概率PC()4C()4；当5时，概率PC()3C()3；当6时，概率PC()3()2C()3()2；当7时，概率PC()3()3C()3()3.随机变量的分布列为：4567PE4567.12【解析】(1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为，则P()0.630.216，P(A)1P()0.784.(2)由题意可知可以取200,250,300，分布列如下200250300P0.40.40. 2E2000.42500.43000.2240.【拓展提高参考答案】1.解：的可能取值为1，2，3，n；所以的分布列为：12kn；
