1、2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（下）期初数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z=1i（i是虚数单位），则+等于（）A2+2iB2C2iD2i2设函数f（x）在x处导数存在，则=（）A2f（2）B2f（2）Cf（2）D f（2）3已知an为等差数列，若a1+a2+a3=，a7+a8+a9=，则cosa5的值为（）ABCD4已知p：|x3|1，q：x2+x60，则p是q的（）A充要条件B必要而不充分条件C充分而不必要条件D既不充分也不必要条件5如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以
2、通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A26B24C20D196若直线ax+2by2=0（ab0），始终平分圆x2+y24x2y8=0的周长，则+的最小值为（）A1B3+2C4D67若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A2B1C1D28如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）ABCD9函数y=的图象是（）ABCD10设F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C
3、上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2=30，则椭圆C的离心率为（）ABCD11在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A4BC8D12已知函数f（x）=1+x+，g（x）=1x+，设函数F（x）=f（x+3）g（x4），且函数的所有零点均在a，b（a，bZ）内，则ba的最小值为（）A6B8C9D10二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分13命题“x0，都有sinx1”的否定：14设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为15下列说法：函数f（x）=lnx+3x6的零点
4、只有1个且属于区间（1，2）；若关于x的不等式ax2+2ax+10恒成立，则a（0，1）；函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；函数的最小值是1正确的有（请将你认为正确的说法的序号都写上）16在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=+，其中，R则2的取值范围是三、解答题：本大题共6个小题，共计70分17已知命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立；命题q：不等式ax2+2x10有解，若命题p是真命题，
5、命题q是假命题，求a的取值范围18已知数列an满足al=2，an+1=2an+4（I）证明数列an+4是等比数列；（）求数列|an|的前n项和Sn19如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD=120，AB=AA1=2A1B1=2（）若M为CD中点，求证：AM平面AA1B1B；（）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值20在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F（1）若点，求ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k
6、2试探究：k1k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求AEF的面积的最小值21设kR，函数f（x）=lnxkx（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2222在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围2016-2017学年广东省
7、东莞市南开实验学校高二（下）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z=1i（i是虚数单位），则+等于（）A2+2iB2C2iD2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】由复数z=1i（i是虚数单位），得，然后由复数代数形式的除法运算化简+，则答案可求【解答】解：由复数z=1i（i是虚数单位），得，则+=1+i+i1=2i故选：D2设函数f（x）在x处导数存在，则=（）A2f（2）B2f（2）Cf（2）D f（2）【考点】极限及其运算【分析】利用导数的定义即可得出【解答】解： =f（2）故选：C3已知an为等差数列，若a1+a2+a3=，
8、a7+a8+a9=，则cosa5的值为（）ABCD【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差的性质，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差，从而可得a4+a5+a6的值，根据等差中项可得a5的值【解答】解：由题意，an为等差数列，则a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差，a4+a5+a6=，那么3a5=，a5=，cosa5=cos=故选D4已知p：|x3|1，q：x2+x60，则p是q的（）A充要条件B必要而不充分条件C充分而不必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进
9、行判断【解答】解：由|x3|1得2x4，即p：2x4由x2+x60，得x2或x3，即q：x2或x3则p是q的充分不必要条件，故选：C5如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A26B24C20D19【考点】进行简单的合情推理【分析】要想求得单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量【解答】解：依题意，首先找出A到B的路线，单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最
10、大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4=7个单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个综合以上结果，单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量是3+4+6+6=7+12=19个 故选：D6若直线ax+2by2=0（ab0），始终平分圆x2+y24x2y8
11、=0的周长，则+的最小值为（）A1B3+2C4D6【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用直线与圆的位置关系求出a，b的关系，就所求表达式，通过函数的单调性，求解最值即可【解答】解：因为直线ax+2by2=0（ab0），始终平分圆x2+y24x2y8=0的周长，所以直线直线ax+2by2=0过圆的圆心（2，1），则2a+2b2=0，即a+b=1；则+=3令t=，（0t1），则f（t）=t+在（0，1上单调递减，fmin（t）=f（1）=1+2+3=6，故+的最小值为6故选：D7若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A2B1C1D2【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画
12、出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2xy3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入xmy+1=0得m=1，故选C8如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到
13、F1D，则DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在DF1A中利用余弦定理求出此角即可【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1DD1BDF1DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在DF1A中，cosDF1A=，故选A9函数y=的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法，即可判断【解答】解：y=为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，当x=时，y=0，排除D，故选：B10设F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2=30，则椭圆C的离心率为（）
14、ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知条件推导出PF2x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率【解答】解：线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（c，0），c+x=0，x=c；P与F2的横坐标相等，PF2x轴，PF1F2=30，PF2=，PF1+PF2=2a，PF2=，tanPF1F2=，=，e=故选：A11在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A4BC8D【考点】两角和与差的正切函数【分析】由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ，tanA+tanB+tanC
15、=tanAtanBtanC ，化简tanA+tanB+tanC，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinCa=2bsinC，sinA=2sinBsinC，sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，化简可得tanB+tanC=2tanBtanC tanA=tan（B+C）=0，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ，且tanBtanC10则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=tanBtanC，令tanBtanC1=m，则m0，故tanA+tanB+tanC=（m
16、+1）=（m+1）=（m+1）=4+2m+4+2=8，当且仅当2m=，即m=1时，取等号，此时，tanBtanC=2，故tanA+tanB+tanC的最小值是8，故选：C12已知函数f（x）=1+x+，g（x）=1x+，设函数F（x）=f（x+3）g（x4），且函数的所有零点均在a，b（a，bZ）内，则ba的最小值为（）A6B8C9D10【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断【分析】求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在1，0上有一个零点，同理可得函数g（x）在0，1上有一个零点；即可得出结论【解答】解：f（x）=1x+x2x3+x2014；x1时，f（x）0，
17、f（1）=20150，x1时，f（x）0，因此f（x）是R上的增函数，f（0）=10，f（1）=（11）+（）+（）0函数f（x）在1，0上有一个零点；函数f（x+3）在4，3上有一个零点，同理，g（x）=1+xx2+x2014；x1时，g（x）0，g（1）=20150，x1时，g（x）0，因此g（x）是R上的减函数，g（0）=10，g（1）=（11）+（）+（）0函数g（x）在0，1上有一个零点；函数g（x4）在4，5上有一个零点，函数F（x）=f（x+3）g（x4）的零点均在区间a，b，（a，bZ）内，amax=4，bmin=5，（ba）min=5（4）=9故选：C二、填空题：本大题共4个
18、小题；每小题5分，共20分13命题“x0，都有sinx1”的否定：x0，使得sinx1【考点】命题的否定【分析】先否定题设，再否定结论【解答】解：“x0”的否定是“x0”，“都有sinx1”的否定是“使得sinx1”，“x0，都有sinx1”的否定是“x0，使得sinx1”故答案为：x0，使得sinx114设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离【分析】设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=ex相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系，再由平行线的距离公式可得最小值【解答】解：设平
19、行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=ex相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，设直线y=x+b与曲线y=ex的切点为（m，em），则由切点还在直线y=x+b可得em=m+b，由切线斜率等于切点的导数值可得em=1，联立解得m=0，b=1，由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=故答案为：15下列说法：函数f（x）=lnx+3x6的零点只有1个且属于区间（1，2）；若关于x的不等式ax2+2ax+10恒成立，则a（0，1）；函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；函数的最小值是1正确的有（请将你认为正确的说法的序号都写上）【考点】命题的真假判断与应用；函数零点的
20、判定定理【分析】根据函数零点判定定理，判断是否正确；根据不等式恒成立的条件，判断是否正确；利用三角函数线与角的弧度数的大小，判断是否正确；用换元法求得三角函数的最小值，来判断是否正确【解答】解：对，f（1）=3，f（2）=ln20，f（1）f（2）0，且f（x）在（1，2）上是增函数，函数在（1，2）内只有一个零点故正确；对关于x的不等式ax2+2ax+10恒成立a=0或0a1故不正确；对根据正弦线|sinx|x|当且仅当x=0取“=”，只有一个交点，故不正确；对设t=sinx+cosx=sin（x+），t1，y=+t=（t+1）21，函数的最小值是1故正确故答案是16在直角梯形ABCD中，A
21、BAD，DCAB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=+，其中，R则2的取值范围是1，1【考点】向量在几何中的应用【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cos，sin）（090），用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cos，sin）（090），=+，（cos，sin）=（1，1）+（1.5，0.5），cos=+1.5，sin=+0.5，=（3s
22、incos），=（cos+sin），2=sincos=sin（45）090，454545，sin（45），1sin（45）12的取值范围是1，1故答案为：1，1三、解答题：本大题共6个小题，共计70分17已知命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立；命题q：不等式ax2+2x10有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立，我们易求
23、出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x10有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案【解答】解：x1，x2是方程x2mx2=0的两个实根|x1x2|=当m1，1时，|x1x2|max=3，由不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立可得：a25a33，a6或a1，命题p为真命题时a6或a1，命题q：不等式ax2+2x10有解当a0时，显然有解当a=0时，2x10有解当a0时，ax2+2x10有解，=4+4a0，1a0，从而命题q：不等式ax2+2x10有解时a1又命题q是假命题，a1，故命题p
24、是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a118已知数列an满足al=2，an+1=2an+4（I）证明数列an+4是等比数列；（）求数列|an|的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）数列an满足al=2，an+1=2an+4，an+1+4=2（an+4），即可得出（II）由（I）可得：an+4=2n，可得an=2n4，当n=1时，a1=2；n2时，an0，可得n2时，Sn=a1+a2+a3+an【解答】（I）证明：数列an满足al=2，an+1=2an+4，an+1+4=2（an+4），数列an+4是等比数列，公比与首项为2（II）解：由（I）可得：an+4=2
25、n，an=2n4，当n=1时，a1=2；n2时，an0，n2时，Sn=a1+a2+a3+an=2+（224）+（234）+（2n4）=4（n1）=2n+14n+2n=1时也成立Sn=2n+14n+2nN*19如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD=120，AB=AA1=2A1B1=2（）若M为CD中点，求证：AM平面AA1B1B；（）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出AMCD，AMAB，AMAA1，由此能证明AM平面AA1B1B（）分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴
26、、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值【解答】证明：（）四边形为菱形，BAD=120，连结AC，ACD为等边三角形，又M为CD中点，AMCD，由CDAB得，AMAB，AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1，又ABAA1=A，AM平面AA1B1B解：（）四边形ABCD为菱形，BAD=120，AB=AA1=2A1B1=2，DM=1，AMD=BAM=90，又AA1底面ABCD，分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1（0，0，2）、B（2，0，0）、，设平面A1BD的一个法向量，则
27、有，令x=1，则，直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值：20在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F（1）若点，求ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2试探究：k1k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求AEF的面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用【分析】（1）根据题意的离心率及点B的坐标，建立方程，求出a的值，即可求ABC的面积；（2）k1k2为定值，证明，由（1）得a2=2b2，即可得到结论；设直线AB的方程为y=k1
28、（xa），直线AC的方程为y=k2（xa），令x=a+1得，求出AEF的面积，结合的结论，利用基本不等式，可求AEF的面积的最小值【解答】解：（1）由题意得解得a2=2b2=8，则ABC的面积S=；（2）k1k2为定值，下证之：证明：设B（x0，y0），则C（x0，y0），且，而由（1）得a2=2b2，所以；设直线AB的方程为y=k1（xa），直线AC的方程为y=k2（xa），令x=a+1得，yE=k1，yF=k2，则AEF的面积，因为点B在x轴上方，所以k10，k20，由得（当且仅当k2=k1时等号成立）所以，AEF的面积的最小值为21设kR，函数f（x）=lnxkx（1）若k=2，求曲线y
29、=f（x）在P（1，2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求函数f（x）的导数，当k=2时f（1）=1，帖点斜式写出切线方程即可；（2）当k0时，由f（1）f（ek）0可知函数有零点，不符合题意；当k=0时，函数f（x）=lnx有唯一零点x=1有唯一零点，不符合题意；当k0时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；（3）设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1x20，则lnx1kx1=0，
30、lnx2kx2=0，两式作差可得，lnx1lnx2=k（x1x2）即lnx1+lnx2=k（x1+x2），由可得lnx1+lnx22即k（x1+x2）2， ，设上式转化为（t1），构造函数，证g（t）g（1）=0即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），当k=2时，f（1）=12=1，则切线方程为y（2）=（x1），即x+y+1=0；（2）若k0时，则f（x）0，f（x）是区间（0，+）上的增函数，f（1）=k0，f（ek）=kkea=k（1ek）0，f（1）f（ek）0，函数f（x）在区间（0，+）有唯一零点；若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；若k0，令f（x）=0，得，在区
31、间上，f（x）0，函数f（x）是增函数；在区间上，f（x）0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+）上，f（x）的极大值为，由于f（x）无零点，须使，解得，故所求实数k的取值范围是；（3）证明：设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1x20，f（x1）=0，f（x2）=0，lnx1kx1=0，lnx2kx2=0，lnx1lnx2=k（x1x2），lnx1+lnx2=k（x1+x2），故lnx1+lnx22，故k（x1+x2）2，即，即，设上式转化为（t1），设，g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）=0，lnx1+lnx2222在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数
32、，a0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，即可求点P到直线l的距离的最小值；（）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对tR，有acost2sint+40恒成立，即（其中）恒成立，即可求a的取值范围【解答】解：（）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为xy+4=0依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，故点P到直线l的距离的最小值为（）曲线C上的所有点均在直线l的右下方，对tR，有acost2sint+40恒成立，即（其中）恒成立，又a0，解得，故a的取值范围为2017年4月26日
