1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题(难点)借助直线与椭圆的位置关系，培养学生直观想象与数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1点与椭圆的位置关系 点 P(x0，y0)与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系：点 P 在椭圆上 1；点 P 在椭圆内部 1.x20a2y20b2x20a2y20b2x20a2y20b22直线与椭圆的位置关系 直线 ykxm 与椭圆x2a2y
2、2b21(ab0)的位置关系：联立ykxm，x2a2y2b21，消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程位置关系 解的个数 的取值 相交解0相切解0 相离解0 两一无0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离.提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.跟进训练1若直线 ykx2 与椭圆x23y221 相切，则斜率 k 的值是()A 63 B 63C 63D 33C 由ykx2，x23y221，得(3k22)x212kx60，由题意知 144k224(3k22)0，解得 k 63.2直线 ykxk1(kR)与焦点在 x 轴上的椭圆x25y2m1 总有公共点，则 m 的取值范围是_5
3、4，5 直线 yk(x1)1 恒过定点 P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点 P(1,1)在椭圆内或在椭圆上所以125 12m1，即 m54，又 0mb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，由，得 1a2(x21x22)1b2(y21y22)0，变形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0，即 kABb2x0a2y0.跟进训练3已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则直线 l 的方程为_x2y80 由题意可设直线 l 的方程为 y2k(x4)，而椭圆的方程可以化
4、为 x24y2360.将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.设直线 l 与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以 x1x28k4k24k21 8，所以 k12.所以直线 l 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.4已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点(2，2)在C 上(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值解(1)由题意可知1b2a212，4a2 2b21，解得 a28，b
5、24，椭圆 C 的标准方程为x28y241.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则x218y2141，x228y2241，得x1x2x1x28y1y2y1y240，kABy1y2x1x24x1x28y1y212xMyM.又 kOMyMxM，kABkOM12.直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.与椭圆有关的综合问题 探究问题1过(1,0)的直线有多少条？是否可以用 yk(x1)表示出来？提示：无数条不可以，直线 yk(x1)不表示 x1 的直线 2直线 xky1 过哪个定点，是否表示过该点的所有直线？提示：直线 xky1 表示过定点(1,0)且斜率不为
6、0 的直线，即不包含直线 y0.【例 3】已知椭圆x22y21，右焦点为 F.直线 l 经过点 F，与椭圆交于点 A，B，且|AB|4 23.(1)求直线 l 的方程；(2)求OAB 的面积思路点拨 设出直线方程，联立方程组，消元后利用根与系数的关系表示弦长，从而求出直线方程 解(1)易知右焦点 F(1,0)当直线斜率不存在时，方程为 x1；截得弦长为2b2a 2 12 2.故不合题意 即直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykx1，x22y220，得(12k2)x24k2x2k220，|AB|1k2 x1x224x1x2 1k24k2
7、12k2242k2212k2 1k212k2 84 23，解得 k21，即 k1.所以直线方程为 xy10 或 xy10，(2)原点到直线的距离 d 12 22，所以 SOAB12|AB|d1243 2 22 23.解决与椭圆有关的综合问题的思路 直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟进训练5椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(3，0)和 F2(3，0)，且椭圆过点1，32.
8、(1)求椭圆方程；(2)过点65，0 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN 的大小是否为定值，并说明理由解(1)由题意设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由 c 3，a2b2c2，代入方程得 x2b23y2b21，椭圆过点1，32，得1b2334b21，解得 b21，a24.椭圆的方程为x24y21.(2)设直线 MN 的方程为 xky65，联立直线 MN 和椭圆的方程可得xky65，x24y21，得(k24)y2125 ky64250，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,0)，y1y26425k24，y1y212k5k24
9、，则AM AN(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y245k(y1y2)16250，即可得MAN2.MAN 的大小为定值2.课 堂 小 结 提 素 养 解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为 x1x2，x1x2 或 y1y2，y1y2，进而求解1判断正误(1)若点 P(x0，y0)在椭圆x24y231 的内部，则有x204y203b0)不一定相交()(3)过点
10、(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆x29y2161 相切()答案(1)(2)(3)2已知直线 l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交C 由xy30 x24y21，得 5x224x320，(24)2453264b0)依题意，有 a2b2(5 2)250.由y2a2x2b21，y3x2，消去 y 并整理，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20.因为x1x2212，所以6b2a29b212.所以 a23b2.由，得 a275，b225.经检验，此时 0.所以椭圆方程为y275x2251.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
