1、广东省东莞市光明中学2020届高三数学下学期第一次月考试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 总分：150分） 第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由中不等式变形得，解得，即，故选C. 2.已知复数z满足：（2i）z1i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为（ ）A iB. iC. D. 【答案】B【解析】【分析】把等式变形，根据复数的运算先求出z，再根据共轭复数的定义得出答案.【详解】由（2i）z1i，得zii.故选：B.【点睛】本题考查复
2、数的运算法则、共轭复数的定义.3.已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A. 16B. 19C. 20D. 25【答案】B【解析】【分析】利用，成等比数列求解【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，成等比数列，因为，所以，故.故选：B【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题4.点到抛物线准线的距离为2，则a的值为( )A. 1B. 1或3C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合抛物线的定义求得的值.【详解】依题意可知，抛物线的标准方程为当时，抛物线的准线方程为，点到的距离为，解得.当时，抛物线的准线方程为，点到的距离为，解得.所以的值为或
3、.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题.5.如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，否，；，否，；，否，；，是，即；解不等式，且满足，综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是，故选点睛：算法与流程图考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若，则的最小值为( )A. B. C
4、. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理表示，再利用基本不等式求得的最小值.【详解】由余弦定理得，当且仅当时等号成立.故选：B【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，属于基础题.7.已知两点，以及圆C：（），若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得以为直径的圆的圆心和半径，根据圆与圆有公共点列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于圆C上存在点P，满足，故以为直径的圆与圆有公共点.圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为所以，而，所以，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查向量数量积
5、为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8.给出下列说法：设，则“”是“”的充分不必要条件；若，则，使得；为等比数列，则“”是“”的充分不必要条件；命题“，使得”的否定形式是“，使得” .其中正确说法的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断的正确性.利用基本不等式等号成立的条件，判断的正确性. 将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断的正确性.根据命题的否定的知识，判断的正确性.【详解】对于，当“”时，如，结论错误，“”不是“”的充分条件，故错误.对
6、于，当时，当且仅当时等号成立，所以，故错误.对于，在等比数列中，当“”时，所以等比数列是单调递增数列，所以“”.当“”时，如，不能推出“”.所以正确.对于，命题“，使得”的否定形式是“，使得”，故错误.综上所述，正确说法个数为个.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查命题的否定，考查基本不等式等号成立的条件，属于基础题.9.已知某几何体是两个正四棱锥组合体，其三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断出球心和半径，由此计算出外接球的表面积.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为两个正四棱锥的组合体，由于正四棱锥
7、的底面是正方形，由三视图可知，正方形的中心即外接球的球心，且正方形的对角线长的一半为外接球的半径，即外接球的半径为.所以外接球的表面积为.故选：A【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球的表面积的求法，属于基础题.10.不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出点集的图像，用阴影部分的面积除以三角形的面积，由此求得所求的概率.【详解】点集表示的图像为如图所示三角形，点集表示的图像为如图所示阴影部分.由于三角形的面积为，阴影部分的面积为.所以所求的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型
8、的计算，考查定积分，考查不等式组表示区域的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.椭圆C：（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BDF1A，则椭圆C的离心率等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，的坐标，且知点为的中点，再由，利用斜率之积等于列式求解【详解】由题意可得，则点为的中点，由，得，即，整理得，解得故选【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题12.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，若函数有3个零点，则实数k的取
9、值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解【详解】解：由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，函数有3个零点，即有3个不同根，画出函数与的图象如图：要使函数与的图象有3个交点，则，且，即实数k的取值范围是故选：B【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上.13.已知定义在上的奇函数满足当时，则曲线在点处的切线斜率
10、为_.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的定义求出函数在上的解析式，然后利用导数可求出的值，即为所求结果.【详解】当时，由于函数为奇函数，当时，则，此时，.因此，曲线在点处的切线斜率为.故答案为.【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.14.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是_ .【答案】-189【解析】令，得展开式中各项系数之和为.由，得，所以展开式的通项为. 由，得，展开式中的系数是.15.已知中，点P为外接圆上任意一点，则的最大值为_.【答案】18【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得外接圆的方程，设出点
11、的坐标，利用向量数量积的坐标运算，求得的表达式，并由此求得的最大值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，依题意，.外接圆的圆心，半径为，所以外接圆的方程为，设，则，故当时，的最大值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.在数列中，且.记，则_.【答案】3【解析】【分析】利用累乘法求得，利用裂项求和法求得，由此求得.【详解】由于，所以，. 又，所以.所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查累乘法、裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1
12、7.在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为，由正弦定理得，即，则根据余弦定理得又因为，所以（2）因为，所以则因为三角形为锐角三角形且，所以则所以，所以即的取值范围为点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不
13、等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18.如图，在矩形中，点为边上的点，点为边的中点，现将沿边折至位置，且平面平面.(1) 求证：平面平面；(2) 求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：(1) 利用直角三角形，先证明折前有,折后这个垂直关系没有改变，然后由平面平面的性质证明平面,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）为方便计算，不妨设，先以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以与平面向上的法向量同方向为轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面和平面的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面
14、角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.试题解析：(1) 证明:由题可知：折前，这个垂直关系，折后没有改变故折后有（2）不妨设，以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以与平面向上的法向量同方向为轴，建立空间直角坐标系 7分则设平面和平面的法向量分别为，由及可得到即，不妨取又由及可得到即不妨取9分11分综上所述，二面角大小为12分.考点：1.线线垂直的证明；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量在解决空间角中的运用问题.19.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数10152
15、0152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005【答案】(1)见解析，有的把握认为购买
16、金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】分析】（1）完善列联表，计算得到答案.（2）先计算，分别计算，得到分布列，计算得到答案.【详解】（1）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）可能取值为65，70，75，80，且.，所以的分布列为65707580.【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20.已知椭圆的焦距为 ,短轴长为.(1)求的方程;(2)直线与相切于点M,与两坐标轴的交点为A与B,直线经过点M且与垂直,与的另一个交点为N.当取
17、得最小值时,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接计算得到，得到椭圆方程.（2）联立，计算得到，根据均值不等式得到，再计算面积得到答案.【详解】(1)因为,所以 又,所以,所以,所以的方程为. (2)联立,消去y,得.因为直线l与相切,所以,即.在x轴y轴上的截距分别为,则,当且仅当,即时取等号.所以当时,取得最小值,此时. 根据对称性,不妨取,此时,即,从而 联立消去y,得,则,解得,所以,故的面积为【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.21.已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，恒有成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）
18、见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域和导函数，对分成、三种情况，讨论的单调区间.（2）先求得的最大值，由此化简不等式，得到，构造函数，利用一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）由（）当时，在和上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在和上是减函数，在上是增函数（2）当时，由（1）可知在上是减函数，由对任意的，恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22
19、、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，得出关于的不等式，求出解集即可【详解】（1）当时，解得；当时，解得，则； 当时，解得，则. 综上，不等式的解集为；（2） ，若对任意，不等式恒成立，则，解得或.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题
