1、2015-2016学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1在等差数列51、47、43，中，第一个负数项为（）A第13项B第14项C第15项D第16项2双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x3ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A30B45C135或45D1354命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）AnN*，f（n）N*且f（n）nBnN*，f（n）N*或f（
2、n）nCn0N*，f（n0）N*且f（n0）n0Dn0N*，f（n0）N*或f（n0）n05已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）ABCD6在ABC中，若acosA=bcosB，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形7已知a，b都是实数，那么“a2b2”是“ab0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）ABCD9南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和
3、B岛礁成60的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A100（+1）海里B50（）海里C50海里D50海里10已知数列an是公比为2的等比数列，且4a1为am，an的等比中项，则的最小值为（）ABCD不存在11已知an是首项为9的等比数列，Sn是前n项和，且=，则数列log3an前9项和为（）A54B18C18D3612已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足|=3|，则此双曲线的离心率是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每
4、小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上）13已知数列an的前n项和，则an=14若x，y满足约束条件则的最大值为15直线y=x2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=16下列四种说法：垂直于同一平面的所有向量一定共面；在ABC中，已知，则A=60；在ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=若a0，b0，a+b=2，则a2+b22；正确的序号有三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知p：x26x+50，q：x22x+1m20（m0）（1）若m=2，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不
5、必要条件，求实数m的取值范围18在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=（1）若a2c2=b2mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求ABC面积的最大值19东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张已知生产这些家具每张所需工时和每张产值如表：家具名称书桌书柜电脑椅工 时产值（千元）432问每周应生产书桌、书柜、电脑椅各多少张，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）20设数列an的前n项和Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（
6、2）记数列的前n项和Tn，求使得成立的n的最小值21如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N（1）求证：SC平面AMN；（2）求二面角DACM的余弦值22已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由2015-2016学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分
7、，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1在等差数列51、47、43，中，第一个负数项为（）A第13项B第14项C第15项D第16项【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列51、47、43，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可【解答】解：因为数列51、47、43，为等差数列，所以公差d=4751=4，首项为51，所以通项an=51+（n1）（4）=554n所以令554n0解得n，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=x
8、Cy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线=1（a，b0）的渐近线方程为y=x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程【解答】解：由双曲线=1（a，b0）的渐近线方程为：y=x，双曲线的a=2，b=4，可得渐近线方程为y=2x故选：A3ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A30B45C135或45D135【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45或135，由ab从而确定A=45【解答】解：由正弦定理知：，a=，b=，B=60，代入上式，故可解得：sinA=，从而A=45或135，ab，AB，A=45
9、故选：B4命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）AnN*，f（n）N*且f（n）nBnN*，f（n）N*或f（n）nCn0N*，f（n0）N*且f（n0）n0Dn0N*，f（n0）N*或f（n0）n0【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：n0N*，f（n0）N*或f（n0）n0，故选：D5已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立空间直角坐标系，求出各向量的坐标，计算数量积进行验证【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（0，1
10、，1），=（0，1，1），=（0，1，0），=（1，0，0），=（1，1，1），=（1，1，0），=0； =0； =1， =0故选：C6在ABC中，若acosA=bcosB，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【考点】正弦定理【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果【解答】解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=1802B解得：A=B或A+B=90所以：ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D7已知a，b都是
11、实数，那么“a2b2”是“ab0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当ab0时，a2b2成立，当a=3，b=1时，满足a2b2，但ab0不成立，即“a2b2”是“ab0”d的必要而不充分条件，故选：B8已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的右焦点坐标，进一步得到c值，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求
12、【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），所求椭圆的右焦点为F（1，0），则c=1，又，得，则椭圆方程为：故选：A9南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A100（+1）海里B50（）海里C50海里D50海里【考点】解三角形的实际应用【分析】先根据A和B求出C，进而根据正弦定理求得AC【解答】解：C=1806075=45根据正弦定理得，AC=50（+1），故选：B10已知
13、数列an是公比为2的等比数列，且4a1为am，an的等比中项，则的最小值为（）ABCD不存在【考点】等比数列的通项公式；基本不等式【分析】数列an是公比为2的等比数列，且4a1为am，an的等比中项，可得=aman，化简可得m+n=6再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：数列an是公比为2的等比数列，且4a1为am，an的等比中项，=aman=，16=2m+n2，m+n=6则=（m+n）=，当且仅当n=2m=4时取等号故选：A11已知an是首项为9的等比数列，Sn是前n项和，且=，则数列log3an前9项和为（）A54B18C18D36【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列前n项和
14、公式求出q=，从而得到an=（）n3，进而log3an=3n，由此能求出数列log3an前9项和【解答】解：an是首项为9的等比数列，Sn是前n项和，且=，=1+q3=，解得q=，an=（）n3，log3an=3n，数列log3an前9项和S9=93（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=18故选：B12已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足|=3|，则此双曲线的离心率是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由点到直线的距离公式可得|=b，则|=3b，cosF1OM=，由此利用余弦定理可得a，b的关系，进而得到a，c的关系，由离心率公式计
15、算即可得到所求值【解答】解：由F2（c，0）到渐近线y=x的距离为d=b，即有|=b，则|=3b，在MF1O中，|=a，|=c，cosF1OM=，由余弦定理可知=，又c2=a2+b2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，即有e=故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上）13已知数列an的前n项和，则an=4n1【考点】数列递推式【分析】由数列的前n项和求得首项，再由an=SnSn1（n2）求得数列的通项公式【解答】解：由，得a1=S1=3；当n2时，=4n1验证n=1时，上式成立，an=4n1故答案为：4n114若x，y满足约束条件
16、则的最大值为3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则kOA=3，即的最大值为3故答案为：315直线y=x2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=16【考点】抛物线的简单性质【分析】直线y=x2与抛物线y2=8x联立，求出A，B的坐标，即可求得|AB|【解答】解：直线y=x2与抛物线y2=8x联立，消去x可得y28y16=0y=44x=64|AB|=16故答案为：
17、1616下列四种说法：垂直于同一平面的所有向量一定共面；在ABC中，已知，则A=60；在ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=若a0，b0，a+b=2，则a2+b22；正确的序号有【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由共面向量的定义判断；利用正弦定理结合已知判断；由正弦定理和余弦定理求出A值判断错误；利用基本不等式的性质判断【解答】解：垂直于同一平面的所有向量一定共面，正确；在ABC中，由，得=，即tanA=tanB=tanC，则A=60，正确；在ABC中，由sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，得a2=b2+c2+bc，故cosA
18、=，则A=，错误；若a0，b0，a+b=2，则a2+b2（）2=2，正确；故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知p：x26x+50，q：x22x+1m20（m0）（1）若m=2，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简p，q，然后利用pq为真，取交集求得实数x的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简q，结合p是q充分不必要条件，可得1，51m，1+m，转化为关于m的不等式组得答案【解答】解：（1）由x26x+50，得1x5，p：1x5
19、；当m=2时，q：1x3若pq为真，p，q同时为真命题，则，即1x3；（2）由x22x+1m20，得q：1mx1+mp是q充分不必要条件，1，51m，1+m，解得m4实数m的取值范围为m418在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=（1）若a2c2=b2mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式两边平方后整理可解得cosA=，而由已知及余弦定理可得=，从而解得m的值（2）由（1）可求得sinA=，结合余弦定理可求得bca2，即可由三角形面积公式求最大值【解答】（本题满分为15分）解：（1）由 2cosA=，两边
20、平方可得：4cos2A4cosA+1=0，解得：cosA=4分而a2c2=b2mbc可以变形为： =，即cosA=，所以m=17分（2）由（1）知cosA=，则sinA=，又=9分所以bc=b2+c2a22bca2，即bca212分故SABC=bcsinA=15分19东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张已知生产这些家具每张所需工时和每张产值如表：家具名称书桌书柜电脑椅工 时产值（千元）432问每周应生产书桌、书柜、电脑椅各多少张，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）【考点】简单
21、线性规划【分析】设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120xy张，产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=4x+3y+2=2x+y+240，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120xy张，产值为z千元，则依题意得z=4x+3y+2=2x+y+240，由题意得x，y满足，即，画出可行域如图所示解方程组，得，即M（20，60）做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点M（20，60）时，目标函数有最大值，zmax=220+60+2
22、40=340（千元）答：每周应生产书桌20张，书柜60张，电脑椅40张，才能使产值最高，最高产值是340千元20设数列an的前n项和Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和Tn，求使得成立的n的最小值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由已知Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1（n1），即an=2an1（n1）由a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）解出即可得出（2）利用等比数列的前n项和公式及其不等式的性质即可得出【解答】解：（1）Sn=2ana1，an=SnSn1=2an2an1（n1
23、），即an=2an1（n1）从而a2=2a1，a3=4a1，又a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2数列an是首项为2，公比为2的等比数列故（2）由（1）得由，得，即2n2016210=102420162048=211，n11于是，使成立的n的最小值为1121如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N（1）求证：SC平面AMN；（2）求二面角DACM的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，A
24、B为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC平面AMN（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角DACM的余弦值【解答】证明：（1）在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA=AB，设AB=AD=AS=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，），=（），=（1，1，1），=0，SCAM，又SCAN，且ANAM=A，SC平面AMN解：（2）SA底面ABCD，是平面ABCD的一个法向
25、量，且=（0，0，1），设平面ACM的法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），=（），则，取x=1，得=（1，1，1），cos=，由图形知二面角DACM为锐二面角，二面角DACM的余弦值为22已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和A在椭圆上，满足椭圆方程，解方程即可得到所求椭圆的方程；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（
26、0r1）当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由，可得x1x2+y1y2=0，代入化简整理，再由直线和圆相切的条件，即可得到满足条件的圆存在；运用弦长公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值【解答】解：（1）由题意得：e=，a2b2=c2，且+=1，解得，a=2，b=1，所以椭圆E方程为；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0r1）当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，由得（1+4k2）x2+8mkx+4m24=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），可得，x1x2+y1y2=0，5m2=4k2+4，由直线PQ与圆相切，则，所以存在圆当直线PQ的斜率不存在时，也适合综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意由弦长公式可得：=，又，代入上式可得：，令4k2+1=t，即，则，当时，即时，当直线l的斜率k不存在时，所以2016年7月31日
