1、1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性2会求直线与平面的夹角(重点、难点)通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 赛艇比赛，是 2022 年第 19 届杭州亚运会主要赛事之一划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容知识点 1 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 直线与平面的夹角为_ 直线与平面平行或直线在平面内直
2、线与平面的夹角为_ 斜线和平面所成的角平面的斜线和它在平面内的_所成的锐角，称为斜线与平面所成的角 900射影1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角()(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角()(3)斜线与平面的夹角为0，90()(4)直线与平面的夹角为0，90()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误，角的度数还可以是零度(2)根据斜线与平面所成的角的定义知正确(3)斜线与平面的夹角为(0，90)(4)正确 知识点 2 最小角定理 射影最小的角1一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？提示 是一条直线，斜线在平面内的射影是唯
3、一的 2已知APB 在平面 内，大小为 60，射线 PC 与 PA，PB 所成的角均为 135，则 PC 与平面 所成角的余弦值是()A 63 B 63 C 33 D 33 B 设 PC 与平面 所成的角为，则 cos 45cos cos 30，所以 cos 63 知识点 3 用空间向量求直线与平面的夹角如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面 的法向量，设直线l 与平面 所成角的大小为，则 或 ，特别地 cos 或 sin|cosv，n|sinv，nv，n22v，n2直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示 不是直线和平面的夹角为2s，n 3
4、若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120，则直线 l 与平面 所成的角等于()A120 B60 C30D以上均错 C 设直线 l 与平面 所成的角为，则 sin|cos 120|12，又090，30合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 公式 cos cos 1cos 2 的应用【例 1】BOC 在平面 内，OA 是平面 的一条斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BC 2a，求 OA 与平面 所成的角 解 法一：OAOBOCa，AOBAOC60，ABACa 又BC 2a，AB2AC2BC2 ABC 为等腰直角三角形 同理BOC 也为等腰直角三角形 取 BC
5、 中点为 H，连接 AH，OH，AH 22 a，OH 22 a，AOa，AH2OH2AO2 AHO 为等腰直角三角形AHOH 又AHBC，OHBCH，AH平面 OH 为 AO 在平面 内的射影，AOH 为 OA 与平面 所成的角 在 RtAOH 中，sinAOHAHAO 22 AOH45 OA 与平面 所成的角为 45 法二：AOBAOC60，OA 在 内的射影为BOC 的平分线，作BOC 的角平分线 OH 交 BC 于 H 又 OBOCa，BC 2a，BOC90 故BOH45，由公式 cos cos 1cos 2，得 cosAOHcosAOBcosBOH 22，OA 与平面 所成的角为 45
6、 求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作 AHBC于 H，进而证明 AH平面，从而证明 H 是点 A 在平面 内的射影解法二则灵活应用公式 cos cos 1cos 2 求线面角，也是常用的方法跟进训练 1如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PD平面 ABCD若PBC60，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 解 由题意得CBD45，PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 cosPBCcos cosCBD，PBC60 即 cos 60cos cos 45，cos 22，45 类型 2 用定
7、义法解决直线与平面的夹角问题 【例 2】如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90(1)求证：BC平面 PAC；(2)若 D 为 PB 的中点，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？提示 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影 2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？提示 若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为 0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为2；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在直线上任取异于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为
8、垂足，则 OA 即为直线在平面内的射影，AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小 解(1)证明：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC 又BCA90，所以 ACBC，又 AC平面 PAC，PA平面 PAC，PAACA，所以 BC平面 PAC(2)取 PC 的中点 E，连接 DE 因为 D 为 PB 的中点，所以 DEBC，所以 DE平面 PAC 连接 AE，则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的射影，所以DAE 是直线 AD 与平面 PAC 的夹角设 PAABa，在直角三角形 ABC 中 因为ABC60，BCA90，所以 BCa2，DEa4，在
9、直角三角形 ABP 中，AD 22 a，所以 sinDAEDEADa422 a 24 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 24 1(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D 为 PB 上的一点，且 BD13PB，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 解 由已知 BCAC，BCPA，ACPAA，所以 BC平面 PAC，BCPC，过 PB 的三等分点 D 作 DEBC，则 DE平面 PAC，连接 AE，AD，则DAE 为 AD 与平面 PAC 的夹角，不妨设 PAAB1，因为ABC60，所以 BC12，DE231213，PB 2，BD 23 在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDc
10、os 4559，所以 AD53，所以 sinDAEDEAD1353 55 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 55 2(变问法)若本例的题(2)条件不变，求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值 解 由例题(1)知 BC平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC 过 A 作 AEPC 所以 AE平面 PBC 连接 ED，则ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角设 PA2a，AB2a，所以 PB2 2a 故 AD 2a 在APC 中，AP2a，ACABsin 602a 32 3a，所以 PC 3a24a2 7a，设ACP，则 AEACsin ACAPPC 3a 2a7a2 37 a 2
11、217a，所以 sinADEAEAD2 21a72a 427 即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 427 用定义法求直线与平面所成角的关注点(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影(2)三种情况：若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为 0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为2；若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小 跟进训练 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，CB1 与平面 AA1C1C 所成角的大小为_ 30 如图，连接 B1D1 交 A1C1 于 O，连接 OC，因为几何体是正方体，所以 OB1平
12、面 AA1C1C，所以B1CO 是 CB1 与平面 AA1C1C 所成的角，设正方体的棱长为 1，则 OB1 22，CB1 2，sinB1CO22212，可得B1CO30 即 CB1 与平面 AA1C1C 所成角的大小为 30 类型 3 用向量求直线与平面所成的角【例 3】(对接教材人教 B 版 P45 例 2)如图，已知正方体ABCD-ABCD中，点 H 为 DB上一点，且 DH 22 DB，DH 与 BD交于点 P，求 DP 与平面 AADD 所成角的大小解 如图所示，以点 D 为坐标原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz，则 C(0，1，0)，D(0，0，1)，B(1，1，1)
13、，DB(1，1，0)，DD(0，0，1)，DC(0，1，0)DH 22 DB，DH 22 DB 22，22，0，DH DD DH(0，0，1)22，22，0 22，22，1 平面 AADD 的一个法向量是DC(0，1，0)，cosDH，DC DH DC|DH|DC|22 0 22 1102112设DP 与平面 AADD 所成角为，则 sin|cosDH，DC|12，30，即 DP 与平面 AADD 所成的角为 30 用向量法求线面角的步骤是什么？提示(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB；(3)求平面的法向量 n；(4)计算：设线面角为，则 sin|nAB|n|AB|跟进训练 3
14、如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，ACBC，ACBC1，CC12，点 M 是 A1B1 的中点(1)求证：B1C平面 AC1M；(2)求 AA1 与平面 AC1M 所成角的正弦值 解(1)证明：在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，ACBC，ACBC1，CC12，点 M 是 A1B1 的中点 以 C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 B1(0，1，2)，C(0，0，0)，A(1，0，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)，M12，12，2，B1C(0，1，2)，AC1(1，0，2)，AM 12，12，2，设平面 AC1M 的法向量 n(x，y，z)，则nAC1 x2z0，
15、nAM 12x12y2z0，取 z1，得 n(2，2，1)，B1C n0，又 B1C平面 AC1M，B1C平面 AC1M(2)AA1(0，0，2)，平面 AC1M 的法向量 n(2，2，1)，设 AA1 与平面 AC1M 所成的角为，则 AA1 与平面 AC1M 所成角的正弦值 sin|AA1 n|AA1|n|22313，所以 AA1 与平面 AC1M 所成角的正弦值为13当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1若直线 l 与平面 所成角为3，直线 a 在平面 内，且与直线l 异面，则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是()A0，23 B2，23 C3，23D3，2 1 3 5 2
16、4 D 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为3，又 l，a为异面直线，则所成角的最大值为2 1 3 5 2 4 2已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABBC4，CC12，则直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成角的正弦值为()A 32 B 52 C 105 D 1010 1 3 5 2 4 C 连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点，由已知得 C1OB1D1，且平面BDD1B1平面 A1B1C1D1，C1O平面 BDD1B1，连接 BO，则 BO为 BC1 在平面 BDD1B1 上的射影，C1BO 即为所求C1O12 42422 2，BC1 42222 5，sinC
17、1BOC1OBC12 22 5 105 1 3 5 2 4 3已知正四棱锥 O-ABCD 中，OAAB，则 OA 与底面 ABCD所成角的正弦值等于()A12 B 33 C 22 D13 1 3 5 2 4 C 设 O 在底面 ABCD 内的射影为 O，则 O为底面 ABCD 的中心，OA 22 ABOAAB，OO 22 AB，OA 与底面 ABCD所成角OAO的正弦值为 22 1 3 5 2 4 4若平面 的一个法向量为(1，1，1)，直线 l 的方向向量为(0，3，4)，则 l 与 所成角的正弦值为_ 7 315 设 l 与平面 所成的角为，则 sin|101314|3 02324273
18、257 315 1 3 5 2 4 5在正三棱锥 P-ABC 中，PA4，AB 3，则侧棱 PA 与底面ABC 所成角的正弦值为_ 154 如图，在正三棱锥 P-ABC 中，PA4，AB 3，1 3 5 2 4 设 P 在底面上的射影为 O，则 O 为ABC 的中心，由已知求得 AO1，又 PA4，PO 4212 15 sinPAOPOPA 154 即侧棱 PA 与底面 ABC 所成角的正弦值为 154 回顾本节知识，自我完成以下问题：1你是怎样理解公式 cos cos 1cos 2 的？提示 由 0cos 21，cos cos 1，从而 1在公式中，令 290，则 cos cos 1cos
19、900 90，此即三垂线定理，反之若 90，可知 290，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例 2利用向量法求直线与平面夹角的优点是什么？需要注意什么问题？提示(1)利用向量法求直线与平面的夹角的优点在于不需要作出角，只需建立空间直角坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再利用公式 sin|cosv，n|求解(2)利用法向量求直线和平面所成的角时要注意两点：不要认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角；直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值可正可负，要注意直线和平面所成角的范围是0，2 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
