1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握复数代数形式的加减运算法则(重点)2了解复数代数形式的加减运算的几何意义(易错点)1通过复数代数形式的加减运算的几何意义，培养数学直观的素养2借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1复数加法与减法的运算法则(1)设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则z1z2；z1z2.(2)对任意 z1，z2，z3C，有z1z2；(z1z2)z3z1(z2z3)(ac)(bd)i(ac)(bd)iz2z12复数加减法的几
2、何意义如图所示，设复数 z1，z2 对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形 OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ与复数对应，向量Z2Z1 与复数_对应z1z2z1z2思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离1已知复数 z134i，z234i，则 z1z2()A8i B6C68iD68iB z1z234i34i(33)(44)i6.2复数(1i)(2i)3i 等于()A1iB1iCiDiA(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选 A.3已知向量OZ1 对应的复数为 23i，向量
3、OZ2 对应的复数为 34i，则向量Z1Z2 对应的复数为_1i Z1Z2 OZ2 OZ1(34i)(23i)1i.合 作 探 究 释 疑 难 复数代数形式的加、减运算【例 1】(1)计算：1312i(2i)4332i；(2)已知复数 z 满足 z13i52i，求 z.解(1)1312i(2i)4332i 13243 12132 i1i.(2)法一：设 zxyi(x，yR)，因为 z13i52i，所以 xyi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i.法二：因为 z13i52i，所以 z(52i)(13i)4i.复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减，相当
4、于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.跟进训练1(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知 z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若 z1z253i，则|z1z2|_.(1)2i(2)2(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以5x5y5，3x4y3，解得 x1，y0，所以 z132i，z22i，则 z1z21i，所以|z1z2|2.复数代数形式加减运算的几何意义【例 2
5、】(1)复数 z1，z2 满足|z1|z2|1，|z1z2|2.则|z1z2|_.(2)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 对应复数分别为 0、32i、24i，试求AO 所表示的复数，BC所表示的复数；对角线CA所表示的复数；对角线OB 所表示的复数及OB 的长度(1)2 由|z1|z2|1，|z1z2|2，知 z1，z2，z1z2 对应的点是一个边长为 1 的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|2.(2)解：AO OA，AO 所表示的复数为32i.BCAO，BC所表示的复数为32i.CAOA OC，CA所表示的复数为(32i)(24i
6、)52i.对角线OB OA OC，它所对应的复数 z(32i)(24i)16i,|OB|1262 37.1用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2 对应的点分别为 A，B，z1z2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB 为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形跟
7、进训练2复数 z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解 设复数 z1，z2，z3 在复平面内所对应的点分别为 A，B，C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)，如图 则AD OD OA(x，y)(1,2)(x1，y2)BCOC OB(1，2)(2,1)(1，3)AD BC，x11，y23，解得x2，y1，故点 D 对应的复数为 2i.复数模的最值问题 探究问题1满足|z|1 的所有复数 z 对应的点组成什么图形？提示：满足|z|1 的所有复数 z 对应的点在以原点为圆心，半径为 1 的圆上2若|z1
8、|z1|，则复数 z 对应的点组成什么图形？提示：|z1|z1|，点 Z 到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上【例 3】(1)如果复数 z 满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1 B.12C2 D.5(2)若复数 z 满足|z 3i|1，求|z|的最大值和最小值(1)A 设复数i，i，1i 在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2,|Z1Z2|2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2.问题转化为：动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1.所以|zi1|min1.(
9、2)解：如图所示，|OM|32122.所以|z|max213，|z|min211.1若本例题(2)条件改为“设复数 z 满足|z34i|1”，求|z|的最大值解 因为|z34i|1，所以复数 z 所对应点在以 C(3,4)为圆心，半径为 1 的圆上，由几何性质得|z|的最大值是 324216.2若本例题(2)条件改为已知|z|1 且 zC，求|z22i|(i 为虚数单位)的最小值解 因为|z|1 且 zC，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点 P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|12 21.|z1z2|表示复平面内 z1，z2 对应的两点间的距
10、离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.课 堂 小 结 提 素 养 1复数代数形式的加减法满足交换率、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则3|zz0|表示复数 z 和 z0 所对应的点的距离，当|zz0|r(r0)时，复数 z 对应的点的轨迹是以 z0 对应的点为圆心，半径为 r 的圆1判断正误(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则()(2)复数与复数相加减后结果为复数()(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意
11、义()答案(1)(2)(3)2计算|(3i)(12i)(13i)|_.5|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i|32425.3已知复数 z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且 z1z2 为纯虚数，则 a_.1 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，a2a20，a2a60，解得 a1.4在复平面内，复数3i 与 5i 对应的向量分别是OA 与OB，其中 O 是原点，求向量OA OB，BA对应的复数及 A，B 两点间的距离解 向量OA OB 对应的复数为(3i)(5i)2.BAOAOB，向量BA对应的复数为(3i)(5i)82i.A，B 两点间的距离为|82i|82222 17.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
