1、山东省威海市威海文登区2021届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的.1. 若，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再根据共轭复数概念求，最后根据复数虚部概念得结果.【详解】由，得所以，则的虚部为： 故选：B2. 设全集，集合则= （ ）A. B. C.
2、D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，进而求出，由此能求出【详解】解：全集，集合，故选：3. m、n是平面外的两条直线，在m的前提下，mn是n的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有而由可得，从而有反之则不一定成立，可能相交，平行或异面所以是的充分不必要条件，故选A4. 设复数满足，则的最大值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，得出的关系，结合其几何意义求解最值.【详解】设，相当于圆上的点到原点距离的最大值，即圆心到原点距离加半径：.故选：B5. 函数与的图象如图，则下列不等式一定
3、成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由指数函数和幂函数的单调性可判断，带特殊值逐一分析选项即可.【详解】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，A：0不一定成立，如；B：不一定成立，如；C：，成立；D：不成立，.故选：C.【点睛】结论点睛：（1）指数函数当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，且恒过定点；（2）幂函数当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.且恒过定点.6. 已知表示不超过实数的最大整数，若函数，函数的零点是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用零点存在定理，判断出所在区间，然后根据表示不超过实数的最大整数求解.【详解】因为，所
4、以，所以，故选：A7. 几何原本卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以直接完成的无字证明为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图形可知：，在中，由勾股定理可得：利用即可得出【详解】解：由图形可知：，在中，由勾股定理可得：，故选：8. 已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数的解析式，利用数列的和，求出通项公式，判断数列
5、是等差数列，然后求解数列的和即可【详解】因为，由，得，又也满足上式，所以，则为常数，所以数列为等差数列；所以，.则数列的前项和为，记，则，所以，因此.故选：D【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于先由数列的前项和确定数列是等差数列，得出为定值，结合诱导公式，推出为定值，利用倒序相加法，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（ ）A. 不可能为B. “等差比数列”中的项不可能为C. 等差数列
6、一定是“等差比数列”D. 等比数列一定是“等差比数列”【答案】BCD【解析】【分析】根据“等差比数列”的定义逐个选项进行判断正误即可【详解】解：当时，根据“等差比数列”的定义，有，即有，这与分母不为0矛盾，故选项正确；当时，为常数，数列为“等差比数列”，且，故选项错误；又当数列为非零常数列时，数列既是等差数列又是等比数列，但，此时数列不是“等差比数列”，故选项、错误，故选：10. 函数对任意总有， 当时，则下列命题中正确的是（ ）A. 是上的减函数B. 在上的最小值为C. 是奇函数D. 若，则实数的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】本题首先可取、，求出，然后令，即可证得函数是奇函数，C正
7、确，再然后通过定义法判断函数的单调性，即可得出函数是上的增函数，A错误，最后根据增函数得出函数在上的最小值为，根据求出，B正确，根据增函数性质将转化为，即可判断出D正确.【详解】取，则，解得，令，则，即，函数是奇函数，C正确，令，且，则，因为当时，所以，则，即，函数是上的增函数，A错误，因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，故，在上的最小值为，B正确，即，因为函数是上的增函数，所以，实数的取值范围为，D正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性的判断、定义法证明函数单调性以及根据函数单调性求最值和不等式，若定义域关于轴对称的函数满足，则函数是奇函数，若满足，则函数是偶函
8、数，考查计算能力，体现了基础性和综合性，是中档题.11. 四边形中，则下列表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用向量的线性运算将用基底和表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】 对于选项A：，故选项A不正确；故选项B正确；，故选项C不正确，故选项D正确；故选：BD12. 在中，内角所对的边分别为，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值是B. 的最大值是C. 的最小值是D. 的最小值是【答案】AD【解析】【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式可求解.【详解】由题意知，由角平分线的性质以及面积公式可得，化简得，当且仅当时成立，解得
9、，故A正确，B错误；，当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：由角平分线的性质以及面积公式得出，再利用基本不等式是解决本题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中相应题的横线上13. 在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到个，称为“十二律”.若能发出第六个基准音的
10、乐器的长度为，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为_.【答案】【解析】【分析】设第四个基准音的乐器的长度为，则第六个基准音的乐器的长度为，解出的值即可【详解】解：设第四个基准音的乐器的长度为，则由题意可知：第六个基准音的乐器的长度为，解得：，即能发出第四个基准音的乐器的长度为288故答案为：28814. 已知单位向量满足.设，则向量的夹角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】对两边平方即可求出，然后可求出，和的值，从而可根据向量夹角的余弦公式可得出夹角的余弦值【详解】解：，故答案为：15. 如图所示，一块长为5m，宽为3m缺一角的长方形木板，是直线段.木工师傅想要在的中点处作延长线的垂线，可是
11、直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在边上找到一点，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时的长度为_m.【答案】【解析】【分析】根据题意，由，可得，由已知结合相似比求出，进一步可得的值【详解】解：如图所示，假设，则，又由，则有，即，得，此时故答案为：2.416. 如图，设的内角、的对边分别为、，且.若点是外一点，则当_时，四边形的面积的最大值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化结合取值范围可求得，可判断出为等边三角形，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式可得出四边形的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形面积的最大值及其
12、对应的的值，即可得解.【详解】，由正弦定理可得，所以，可得，所以，为等边三角形，设，则，由余弦定理可得，所以，四边形的面积为，所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值.故答案为：；.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6
13、）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题：本题共6小题，共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由.设等差数列前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若 ， ，且.是否存在大于的正整数，使得成等比数列？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【解析】【分析】由等比数列的条件，求得，可得等比数列的通项公式然后分别选取条件，条件，条件，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差
14、数列的通项公式及前项和，再由，成等比数列列式求解值即可【详解】解：设的 公差为，的公比为，由题意知，所以， 整理得，因为，所以，所以. （1）当选取的条件为时，有，所以，解得. 所以.所以， 若成等比数列，则，所以，解得，因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在. （2）当选取的条件为时，有，所以，解得. 所以. 所以， 若成等比数列，则，所以，解得或（舍去）此时存在正整数满足题意. （3）当选取的条件为时，有，所以，解得. 所以.所以， 若成等比数列，则，即，所以，解得，因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟
15、练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程18. 将函数的图象向右平移后得到图象，已知的部分图象如图所示，该图象与轴相交于点，与轴相交于点、，点为最高点，且（1）求函数的解析式，并求出在上的递增区间；（2）在中，、分别是角、的对边，且，求的最大值【答案】（1）；递增区间为和；（2）.【解析】【分析】（1）先将的图象向右平移个单位得到的解析式，由解析式得最大值为，利用三角形面积公式可得到，而，利用周期的计算公式得到，又因为过，代入解析式得到值，从而得到的解析式；（2）先利用，利用特殊角的三角函数
16、值得到角A的大小，再利用余弦定理得到b和c的一个关系式，利用基本不等式得到，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值.【详解】解：（1）由题意知，则点的纵坐标为2由于，则，即 又由于，所以.因为，则 ，即 .当时，得到当时， 当时，所以在上的递增区间为和.（2），则由余弦定理得即，当且仅当时取等.故的最大值为【点睛】关键点睛：本题考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等知识，解答本题的关键是根据图象性质由周期和特殊点先求出的解析式，由余弦定理可得，得出三角形面积的最大值，属于中档题.19. 已知向量，函数. （1）若，当时，求的值域；（2）若为偶函数，求方
17、程在区间上的解.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将化为，然后可得答案；（2）由为偶函数可求出，然后可得答案.【详解】（1）当，由所以的值域为（2）若为偶函数，则恒成立即成立，整理得所以由得又20. 已知正项数列的前项和为且满足（1）求数列的通项公式；（2）当，（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积 之和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，两式相减得，求得.由此得数列是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项可求得答案；（2）由和的所有可能乘积（，），根据等比数列的求和公式可得答案.【详解】解：（1），两式相减得，由得，又.所以数列是首项为，公比为的等比数
18、列， 所以 .（2）由和的所有可能乘积（，）可构成下表设上表第一行的和为，则所以.【点睛】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，求实数取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先写出当时，解析式，再求导，根据导数的几何意义可得，再由点斜式写出切线的方程（2）
19、先求出，在求出，通过分两种情况，讨论的正负，进而得的增减性，推出最小值的范围，进而判断是否恒成立，即可得出答案【详解】解（1）当时，所以切线斜率，又，所以切线方程为，即.（2），.当时，所以在上单调递增，所以.当即时，所以在上单调递增，所以，满足题意.当即时，必存在当，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以不恒成立，所以不满足题意.综上，的取值范围为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理22. 已知函数，.（1）讨论在区间上的单调
20、性；（2）判断在区间上零点的个数，并给出证明.【答案】（1）在上单调递减；（2）有且仅有个零点. 证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令，求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）， .，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）在区间上有且仅有个零点.证明：令，所以，当时，因为，在单调递增，又.在上有一个零点；当时，恒成立.在上无零点；当时，在上单调递减；又，在上必存在一个零点；综上，在区间上有且仅有个零点.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
