1、高考资源网（） 您身边的高考专家东华高级中学2015届高三年级适应性考试数学（理科） 2015.5本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟.参考公式：1. ，其中0.050.0250.00100.0053.8415.0246.6357.8792.若三个顶点的坐标分别为、，则其重心的坐标为一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合 A. B. C. D. 2. 设复数满足,则在复平面内对应的点在 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限3. 下列函数中，周期为且为奇函数的是A. B. C.
2、D. 4已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ）A16 B C20 D5.若实数满足条件，则的最小值是（ ）A B C D 6.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是, 则 ( ) 7.已知双曲线的渐近线与实轴的夹角为，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 8.定义两个实数间的一种新运算“”：，、。对于任意实数、，给出如下结论：；其中正确结论的个数是 （ ）A个 B个 C个 D个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9.在实数范围内，不等式的解集为_10
3、.在公比大于1的等比数列中，则= .11.若函数在上可导，则 .12.已知随机变量服从正态分布，若，则_.13.下列四种说法中， 命题“存在”的否定是“对于任意”；命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；已知幂函数的图象经过点，则的值等于；已知向量，则向量在向量方向上的投影是.以上说法正确的是_.（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为 15.（几何证明选讲选做题）如图，切圆于点，割线经过圆心，绕点逆时针旋转到，则的长为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满
4、分分）已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若求的值.17. （本小题满分分）为考察高中生的性别与是否喜欢体育课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：喜欢体育课不喜欢体育课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢体育课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望.18. （本小题满分分）如图,在直三棱柱中，平
5、面，其垂足落在直线上（1）求证：（2）若，为的中点，求二面角的余弦值.19. （本小题满分分）已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求20. （本小题满分分）如图所示，点是直线上的一个动点，直线、是抛物线的切线，点和点是切点（）.（1）证明：三角形的重心必在过点且与直线垂直的直线上；（2）试求三角形的重心的轨迹方程； （3）直线上是否存在点,使得.若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分分）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若设是函数图像上的任意两点记直线AB的斜率为k，求证：参考答案选择
6、题: ACBB ADAD填空题：9.10.11.-4 12. 13.14.15.16. 解：(1)由得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 所以函数在区间上的最大值为2，最小值为1(2)由(1)可知 又因为 所以由得从而17. 解：（1），（2分）约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”. （4分）（2）男生抽取人数有：（人） 女生抽取人数各有：（人） （6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以的取值为1，2，3. （7分） ，所以的分布列为：123（10分）所以的数学期望为 （12分）18解析：（）证明：三棱柱
7、为直三棱柱，平面，又平面， -平面，且平面， . 又 平面,平面,，xyz平面， 又平面， 5分 （）由（）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系 平面，其垂足落在直线上, .在中，AB=2，,在直三棱柱 中，. 在中， , 则(0,0,0),C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则 即 可得 设平面的一个法向量 则 即可得 平面与平面的夹角的余弦值是 （或在中，AB=2,则BD=1 可得D( 平面与平面的夹角的余弦值是 19. 解:由知知 由-得整理得 为正项数列， 所以为公差为的等差数列，由得或 当时，不满足是和的等比中项.当时，满足是和的等比
8、中项. 所以. (2) 由得， 由符号表示不超过实数的最大整数知，当时， ，所以令 -得 即. 20.解：（1）证明：由得，所以，. 于是，直线的方程为，直线的方程为，从而 ，-，得，故.设的重心的坐标为,则由三角形的重心的坐标公式可得，即：重心的横坐标与点的横坐标永远相同，所以，三角形的重心必在过点且与直线垂直的直线上.（2）设的重心的坐标为，由（1）知，同理.由（1）中的+，得 ，即：，从而 于是，所以，因此，三角形的重心的轨迹方程是.（3） 假设直线上存在点,使得，于是，由得 ，从而，.由和，得，由（2）知，将此式与比较，从而有，矛盾！因此，直线 上不存在点，使得 21 (1)解：当时，恒成立，即恒成立，故的单增区间为无单减区间当时，解得：或函数的单增区间为单减区间为当时，由，解得：或而此时函数的单增区间为单减区间为综上所述：当时，的单增区间为无单减区间当时，的单增区间为单减区间为当时，的单增区间为单减区间为7分(2)证明：, 由题，则：注意到 故欲证 只须证明：因为故即证：令则：, 故在上单调递增所以：, 即： 即：所以：.14分- 9 - 版权所有高考资源网
