1、高 考 总 复 习 优 化 设 计 GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI 三角函数中的综合问题 高 考 解答题 专项二 2023考情分析 三角函数是高考的必考内容,在近几年的高考试卷中,三角函数解答题可能是常规考题,也可能是结构不良试题或开放型问题,形式灵活,但以考查三角函数的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,对学生的综合素养要求较高,一般处在解答题的前两个题目位置,对逻辑推理、数学运算、数学建模等多个数学核心素养都有较深入的考查.考点一三角函数的图像与性质问题例 1.(2021 山东潍坊高三一模)在函数 y=f(x)的图像关于直线 x=3对称,函数
2、 y=f(x)的图像关于点 P(6,0)对称,函数 y=f(x)的图像经过点 Q(23,-1)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.问题:已知函数 f(x)=sin xcos+cos xsin(0,|2)的最小正周期为,且 ,判断函数 f(x)在(6,2)上是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时的 x 值;若不存在,说明理由.解 由于 f(x)=sin xcos+cos xsin=sin(x+),由已知函数 f(x)的周期 T=2=,得=2,所以 f(x)=sin(2x+).若选,则有 23+=k+2(kZ),解得=k-6(kZ).又因为|2,所以=-6,所以 f(x)=sin 2
3、6.当 x 6,2 时,t=2x-6 6,56 ,所以当 t=2,即 x=3时,函数 f(x)取得最大值,最大值为 1.若选,则有 26+=k(kZ),解得=k-3(kZ).又因为|2,所以=-3,所以 f(x)=sin 2 3.当 x 6,2 时,t=2x-3 0,23 ,所以当 t=2,即 x=512时,函数 f(x)取得最大值,最大值为 1.若选,则有 223+=2k-2(kZ),解得=2k-116(kZ).又因为|2,所以 k=1,=6,所以 f(x)=sin 2+6.当 x 6,2 时,t=2x+6 2,76 ,显然,函数 f(x)在该区间上没有最大值.方法总结三角函数图像与性质问题
4、的解法(1)基本策略:首先通过恒等变换将函数解析式化为f(x)=Asin(x+)的形式,然后利用整体换元思想解决相应的性质问题.(2)易错提醒:求单调区间时,如果系数0,应先利用诱导公式,将系数化为正数,再进行求解;当A0时,原函数的单调区间与函数y=sin(x+)的单调区间恰好相反,应注意转换.求函数在区间a,b上的最值和值域时,不能错误地认为最大值和最小值就是1和-1,也不能认为最值一定在区间端点a,b处取得,而应该依据xa,b求出x+的取值区间,然后结合正弦函数的图像来确定函数的最值以及取得最值时自变量的值.对点训练 1(2021 湖南永州高三二模)已知函数 f(x)=3sin(2x+)
5、(-20)同时满足下列 3 个条件中的 2 个.3 个条件依次是:f(x)的图像关于点(12,0)对称;当 x=512时,f(x)取得最大值;0 是函数 y=f(x)+32的一个零点.(1)试写出满足题意的2个条件的序号,并说明理由;(2)求函数g(x)=f(x)+6cos2x的值域.解(1)f 12=3sin 6+=0,则6+=k,kZ.又-20,所以=-6.2512+=2k+2,kZ,则=2k-3.又-20,所以=-3.3sin+32=0,sin=-12,则=k+(-1)k 6,kZ.又-21(舍);当 c=23a 时,cosABC=712.综上所述,cosABC=712.方法总结利用正余
6、弦定理解三角形的基本策略 对点训练2(2021湖南湘潭高三三模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 3csin B=a+3 costan.(1)若 B=4,c=6+2,求ABC 的面积;(2)若()2+6cos 2B=6,求 C.解 3csin B=a+3 costan,3csin B-3 costan=a,即 3(sin Bsin C-cos Ccos B)=sin A,-3cos(B+C)=sin A,3cos A=sin A,即tan A=3.A 为ABC 内角,A=3.(1)B=4,C=512,由正弦定理得 sin=sin,b=2 2,SABC=12bcsin A=
7、122 2(6+2)sin3=3+3,ABC 的面积为 3+3.(2)由 2+6cos 2B=6,得 12sin 2B=22.A=3,由正弦定理得 sin Bsin C=14.又 B=23-C,sin Csin 23 =12sin2C+32 sin Ccos C=14,即14(1-cos 2C)+34 sin 2C=14,cos 2C=3sin 2C,则 tan 2C=33.2C 0,43 ,2C=6或 2C=76,C=12或 C=712.考点三三角形的中线与角平分线问题例3.(2021福建福州高三二模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccos B-bcos C.(
8、1)求角C的大小;(2)设 CD 是ABC 的角平分线,求证:1+1=1.(1)解 因为a+b=ccos B-bcos C,由正弦定理得sin A+sin B=sin Ccos B-sinBcos C.因为sin(B+C)=sin(-A)=sin A,所以sin(B+C)+sin B=sin Ccos B-sin Bcos C,所以2sin Bcos C+sin B=0.因为 B(0,),所以 sin B0,所以 cos C=-12.又 C(0,),所以 C=23.(2)证明 因为 CD 是ABC 的角平分线,且 C=23,所以ACD=BCD=3.在ABC 中,SABC=SACD+SBCD,则
9、由面积公式得12CACBsin23=12CACDsin3+12CDCBsin3,即 CACB=CACD+CDCB,两边同时除以 CACBCD 得 1+1=1.方法总结三角形中的中线、角平分线问题的处理策略 对点训练3(2021山东济南高三三模)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).(1)求角C;(2)若 c=2 10,D 为 BC 中点,cos B=2 55,求 AD 的长度.解(1)2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A),2b2=2bccos A(1-tan A),b=c(cos A-sin A).由正弦定理可得sin B=
10、sin C(cos A-sin A),sin(A+C)=sin Ccos A-sin Csin A,sin Acos C=-sin Csin A.sin A0,tan C=-1,解得 C=34.(2)cos B=2 55,sin B=55.sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=1010,由正弦定理可得 a=sinsin=2 2.在ABD 中,由余弦定理可得 AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,解得 AD=26.考点四利用正余弦定理解决多边形问题例4.(2021福建漳州高三一模)在平面四边形ABCD中,ABC=90,C=135,BC=1,BD=.(1
11、)求CD;(2)若cosA=,求sinADB.5 35 解(1)在BCD 中,由余弦定理可得 BD2=CB2+CD2-2CBCDcos C,所以 5=1+CD2-21CD 22 ,即 CD2+2CD-4=0,又 CD0,所以 CD=2.(2)由(1)可知 cosCBD=2+2-22=1+5-221 5=2 55,所以 sinABD=sin(90-CBD)=cosCBD=2 55.因为ABD 为锐角,所以 cosABD=1-sin2=55.又因为 cos A=35,A(0,),所以 sin A=45,所以 sinADB=sin(ABD+A)=sinABDcos A+cosABDsin A=2 5
12、5 35+55 45=2 55.技巧点拨利用正余弦定理解决多边形问题的解题策略(1)将所给多边形分拆成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正余弦定理建立边角关系进行求解;(2)充分注意各个三角形之间的联系,特别是公共边、邻角之间的等量关系,交叉使用公共条件进行求解;(3)注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用;(4)注意方程思想的灵活运用,通过设出未知变量,建立方程进行求解.对点训练4在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-,求tanDAC 的值.2 45 解(1)在ABC 中,因
13、为 a=3,c=2,B=45,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得b2=9+2-23 2cos 45=5,所以 b=5.在ABC 中,由正弦定理 sin=sin,得 5sin45=2sin,所以 sin C=55.(2)在ADC 中,因为 cosADC=-45,所以ADC 为钝角,而ADC+C+CAD=180,所以 C 为锐角.故 cos C=1-sin2=2 55,则 tan C=sincos=12.因为 cosADC=-45,所以 sinADC=1-cos2=35,tanADC=sincos=-34.从而 tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-
14、tan+tan1-tantan=-34+121-34 12=211.考点五三角函数与解三角形的综合问题例 5.(2021 山东烟台高三二模)将函数 f(x)=sin x+3cos x 图像上所有点向右平移6个单位,然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到函数 g(x)的图像.(1)求函数 g(x)的解析式及单调递增区间;(2)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin(3-B)cos(6+B)=14,c=g(6),b=2 3,求ABC 的面积.解(1)由题得,f(x)=sin x+3cos x=2sin +3.f(x)图像向右平移6个单位得到 y=2sin +6
15、 的图像,横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到 y=2sin 2+6 的图像,所以g(x)=2sin 2+6.令-2+2k2x+6 2+2k,解得-3+kx6+k,所以 g(x)的单调递增区间为 3+,6+(kZ).(2)由(1)知,c=g 6=2.因为 sin 3 cos 6+=cos2 6+=14,所以 cos 6+=12.又因为 B(0,),所以 B+6 6,76 ,当 cos 6+=12时,B+6=3,B=6.此时由余弦定理可知,4+a2-22acos6=12,解得 a=3+11.所以 SABC=122(3+11)sin6=3+112.当 cos 6+=-12时,B+6=23,B=
16、2,此时由勾股定理可得,a=12-4=2 2,所以 SABC=1222 2=2 2.技巧点拨三角函数与解三角形综合问题的解法步骤 对点训练 5(2021 江苏无锡高三月考)已知函数 f(x)=sin xcos(x+6)+cos2x.(1)求 f(x)在0,4上的最值;(2)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(2)=1,a=2 3,ABC 的面积为 3,求 sin B+sin C 的值.解(1)f(x)=sin x 32 cos 12 sin +cos2x=32 sin xcos x-12sin2x+cos2x=34 sin 2x-1-cos24+1+cos22=34 sin 2x+34cos 2x+14=32 sin 2+3+14,x 0,4,32x+3 56,12sin 2+3 1,当 x 0,4 时,f(x)min=3+14,f(x)max=2 3+14.(2)f 2=32 sin +3+14=1,sin +3=32.A(0,),A+3 3,43 ,A=3.SABC=12bcsin A=34 bc=3,bc=4.又 a=2 3,cos A=2+2-22=2+2-128=(+)2-208=12,(b+c)2=24,b+c=2 6.又 sin=sin=sin=4,sin B+sin C=14(b+c)=62.
