1、3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 第三章 函数 学 习 任 务核 心 素 养 1进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用(重点、难点)2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点)1通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2借助函数定义域的求解，培养数学运算素养3借助 f(x)与 f(a)的关系，培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，
2、还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学在数学领域也有类似的对应问题，即实数 x(可能不止一个)对应实数 y(唯一一个)，那么这种对应关系在数学中叫什么呢？知识点一 函数的概念 定义给定两个A 与 B，以及对应关系 f，如果对于集合A 中的实数 x，在集合 B 中都有确定的实数 y 与x 对应，则称 f 为定义在集合 A 上的一个，记作：yf(x)，xA，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 非空实
3、数集每一个唯一函数对应关系yf(x)，xA 定义域自变量 x 的取值的范围(即非空实数集 A)三要素值域所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA(1)有人认为“yf(x)”表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与 f(a)有何区别与联系？提示(1)这种看法不对 符号 yf(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量，f 是对应关系，y 是自变量的函数，当 x 允许取某一具体值时，相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”在研究函数时，除用符号 f(x)外，还常用 g(x)，h(x
4、)等来表示函数(2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 xa 时，函数 f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是 f(x)的一个特殊值，如一次函数 f(x)3x4，当 x8 时，f(8)38428 是一个常数1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)任何两个集合都可以建立函数关系()(2)集合 A 中的两个实数 x 可以对应集合 B 中的一个实数 y.()(3)函数的值域即为集合 B()答案(1)(2)(3)提示(1)集合 A，B 应为非空数集(2)符合函数的定义(3)值域是集合 B 的子集2.函数 f(x)x1x2的定义域
5、为()A0,2)B(2，)C0,2)(2，)D(，2)(2，)C 要使函数 f(x)x 1x2有意义，只需x0，x20，解得x0 且 x2，所以函数 f(x)的定义域为0,2)(2，)3.(对接教材 P88 例 3)若 f(x)11x2，则 f(3)_.18 f(3)11918.知识点二 同一个函数 一般地，如果两个函数表达式表示的定义域，对应关系也(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数相同相同4.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 yf(x)x2，xA 与 uf(t)t2，tA 表示的是同一个函数()(2)函数 yf
6、(x)x2，x0,2与 g(x)2x，x0,2表示的是同一个函数()(3)函数 yf(x)x2，x0,2与 h(x)x2，x(0,2)表示同一个函数()答案(1)(2)(3)提示(1)两个函数定义域相同，对应关系也相同(2)两个函数的对应关系不同(3)两个函数的定义域不同.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 函数的判断【例 1】(1)设 Mx|0 x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是()A0B1C2D3(2)判断下列对应 f 是否为定义在集合 A 上的函数AR，BR，对应关系 f：y1x2；A1,2,3，BR
7、，f(1)f(2)3，f(3)4；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示(1)B 中，因为在集合 M 中当 11 且 x1，所以这个函数的定义域为x|x1 且 x1(3)当且仅当3x0，x10，函数有意义，解得 1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(4)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 x10，1x0，解得 x1 且 x1，即函数定义域为x|x1 且 x1变结论在本例(3)条件不变的前提下，求函数 yf(x1)的定义域解 由 1x13 得 0 x2.所以函数 yf(x1)的定义域为0,2求函数定义域的常用方法(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零(2)若 f(x)是
8、偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义类型 4 求函数值(值域)【例 4】(对接教材 P88 例 3)(1)已知 f(x)11x(xR，且 x1)，g(x)x22(xR)，则 f(2)_，f(g(2)_.(2)求下列函数的值域：yx1；yx22x3，x0,3)；y3x1x1；y2x x1.(1)13 17 f(x)11x，f(2)11213.又g(x)x22，g(2)2226，f(g(2)
9、f(6)11617.(2)解(观察法)因为 xR，所以 x1R，即函数值域是 R.(配方法)yx22x3(x1)22，由 x0,3)，再结合函数的图像(如图()，可得函数的值域为2,6)图()(分离常数法)y3x1x1 3x34x13 4x1.4x10，y3，y3x1x1 的值域为y|yR 且 y3(换元法)设 t x1，则 t0 且 xt21，所以 y2(t21)t2t142158，由 t0，再结合函数的图像(如图()，可得函数的值域为158，.图()1求函数值的方法的 2 种类型(1)已知 f(x)的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f(a)的值(2)求 f(g(a)的值应遵
10、循由里往外的原则 2求函数值域常用的 4 种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于 f(x)axb cxd(其中 a，b，c，d 为常数，且 a0)型的函数常用换元法跟进训练4已知函数 f(x)x1，且 f(a)3，则 a_.16 因为 f(x)x1，所以 f(a)a1 又因为 f(a)3，所以 a13，a1
11、6.5求下列函数的值域：(1)y 2x11；(2)y1x21x2.解(1)因为 2x10，所以 2x111，即所求函数的值域为1，)(2)因为 y1x21x2121x2，又函数的定义域为 R，所以 x211，所以 00 时，任意一个 x 对应着两个 y 的值，因此选项 D 不是函数的图像3 1 2 4 5 3函数 f(x)x3|x1|5的定义域是()A3，)B3,4)(4，)C(3，)D3,4)B 要使x3|x1|5有意义，只需x30，|x1|5，解得 x3,4)(4，)故选 B4 1 2 3 5 4对应关系 f 为“乘以 2 减 1”是定义在集合 A 上的函数，若值域 B3，1,3，则集合
12、A_.1,0,2 根据函数的定义，分别令 2x13，1,3，解得 x1,0,2，从而得到集合 A1,0,22 4 5 1 3 5已知函数 f(x)x23x4 的定义域为2,2，则 f(x)的值域为_6，254 函数 f(x)x23x4 的对称轴为 x32，所以在区间2,2上，函数的最大值为 f32 3223324254，函数的最小值为 f(2)(2)23(2)46，所以函数的值域为6，254.回顾本节知识，自我完成以下问题：1对函数概念你是怎样理解的？提示(1)yf(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，不能认为“y等于 f 与 x 的乘积”，应理解为：x 是自变量，f 是对应关系(可以是解
13、析式、图像、表格或文字描述等)(2)函数符号 f(x)表示的对应关系与字母 f 无关，也可以用 g，F，G 等表示；同样，自变量 x 也可以用 t，m，h 等表示(3)函数的定义域必须是非空数集，因此定义域为空集的函数不存在如 y11x x3就不是函数(4)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性即对于非空实数集 A 中的任意一个(任意性)元素 x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素 y 与之对应这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数(5)f(a)表示当 xa 时函数 f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，表示的是变量 2怎样判断两个函数是同一个函数？提示 函数
14、的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应关系是否完全一致，与用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，定义域和对应关系完全一致的两个函数才算同一个函数 3怎样理解对应关系“f”的含义？提示 对应关系 f 是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当 f()的括号内输入自变量 x 的一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值，如 f(x)3x5，f 表示“自变量x 的 3 倍加上 5”，若 x4，则 f(4)34517.需要注意的是：这里的“x”既可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数符号如 f(x)3x
15、5，则 f(2x1)3(2x1)5，f(x)3(x)5 等 数学阅读拓视野 NO.4函数概念的形成与发展17 世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代天文学、航海业及机械工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象法国哲学家、数学家笛卡儿(R.Descartes,15961650)引入了坐标系，创立了解析几何他把几何问题转化为代数问题对此，恩格斯给予了很高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学”英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿(I.Newton,16431727)，以流数来定义描述
16、连续量流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念函 数(function)一 词 首 先 是 由 德 国 哲 学 家 莱 布 尼 茨(G.W.Leibniz,16461716)引入的他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、变量、参变量等概念瑞士数学家欧拉(L.Euler,17071783)于 1734 年引入了函数符号 f(x)，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是一个公式确定的数量关系他于 1775 年在微分学中写道：“如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面
17、的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数”直到 1837 年，德国数学家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,18051859)放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了 yf(x)是 x 与 y 之间的一种对应的现代数学观点在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一狄利克雷关于函数的定义沿用至今，他抓住了函数概念的本质“对应规律”，摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素1859 年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰(18111882)第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
