1、学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立【解析】根据题中条件可知：由f(k)k2，必能推得f(k1)(k1)2，但反之不成立，因为D中f(4)2542，故可推得k4时，f(k)k2，故只有D正确【答案】D2用数学归纳法证明“对于任意
2、x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01Bn02Cn01,2D.以上答案均不正确【解析】需验证：n01时，x11成立【答案】A3利用数学归纳法证明不等式1对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12B13C14D.不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是单调递增的，f(n)的最小值为f(2).依题意，m14.因此取m13.【答案】B5用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对【解析】nk时，左边，nk1时，左边
3、，增加了两项，少了一项.【答案】C二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步的验证为_【解析】当n1时，2111212，即44成立【答案】21112127证明1n1(n1)，当n2时，要证明的式子为_【解析】当n2时，要证明的式子为213.【答案】2138在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立猜想在n边形A1A2An中，类似成立的不等式为_【解析】由题中已知不等式可猜想：(n3且nN)【答案】(n3且nN)三、解答题9已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2)(1)判断是否为等差数列，并证明你的结
4、论；(2)证明：SSS.【解】(1)S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1，2.故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)证明：当n1时，S，不等式成立假设nk(k1，且kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS.即当nk1时，不等式成立由可知对任意nN不等式成立10已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，且an1f(an1)，证明：an2n1(nN*)【证明】由f(x)x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)当n1时，a11211，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即ak2k1，当nk1时，
5、ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，22k2k1，nk1时，ak12k11，即不等式成立根据(1)和(2)知，对任意nN，an2n1成立能力提升1对于正整数n，下列不等式不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】排除法，取n2，只有C不成立【答案】C2利用数学归纳法证明“”时，n的最小取值n0应为_. 【导学号：32750071】【解析】n01时不成立，n02时，再用数学归纳法证明，故n02.【答案】23设a，b均为正实数(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_.【解析】当n1时，Mab
6、N，当n2时，M(ab)2，Na22abM，当n3时，M(ab)3，Na33a2bM，归纳得MN.【答案】MN4已知f(x)，对于nN，试比较f()与的大小并说明理由【解】据题意f(x)1，f()1.又1，要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n1时，212121，当n2时，22422，当n3时，238329，当n4时，241642，当n5时，25325225，当n6时，26646236.故猜测当n5(nN)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5时，不等式显然成立(2)假设nk(k5且kN)时，不等式成立，即2kk2.则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，即nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，对一切n5，nN，2nn2成立综上所述，当n1或n5时，f()，当n2或n4时，f()，当n3时，f().
