1、高考导航 从近几年的高考看，对三角函数、解三角形、平面向量的考查仍然是重点和热点，该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数ysin x，ycos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最
2、值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解【例 1】(12 分)(2015济南名校联考)已知函数 f(x)sin x2 3cos2x2 1 3(0)的周期为.(1)求 f(x)的解析式并求其单调递增区间；(2)将 f(x)的图象先向下平移 1 个单位长度，再向左平移(0)个单位长度得到函数 h(x)的图象，若 h(x)为奇函数，求 的最小值解(1)f(x)sin x2 3cos2x2 1 3sin x2 31cos x21 3sin x 3cos x12sin(x3)1.(3 分)又函数 f(x)的周期为，因此2，2.(4 分)故 f(x
3、)2sin2x3 1.令 2k22x32k2(kZ)，得 k512xk 12(kZ)，即函数 f(x)的单调递增区间为k512，k 12(kZ)(7 分)(2)由题意可知 h(x)2sin2x3，又 h(x)为奇函数，则 23k，k2 6(kZ)0，当 k1 时，取最小值3.(12 分)构建模板 求三角函数单调递增区间的一般步骤第一步：将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式第二步：构造 f(x)a2b2(sin xaa2b2cos xba2b2)第三步：利用三角恒等变换转换表达式为f(x)a2b2sin(x)的形式第四步：令 x22k，22k(kZ)第五步：解得 x 的范围第六步：
4、下结论探究提高 对于三角函数图象的平移变换问题，其规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量 x，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把 x 变换成 x，最后确定平移的单位，并根据的符号确定平移的方向【训练 1】设函数 f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求 的值；(2)求 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值解(1)f(x)32 3sin2xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x
5、32 cos 2x12sin 2xsin2x3.因为 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期 T44.又 0，所以22，因此 1.(2)由(1)知 f(x)sin2x3.设 t2x3，则函数 f(x)可转化为 ysin t.当 x32 时，53 t2x3 83，如图所示，作出函数 ysin t 在53，83上的图象，由图象可知，当 t53，83 时，sin t 32，1，故1sin t 32，因此1f(x)sin2x3 32.故 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值分别为 32，1.热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主其命
6、题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题【例 2】(2014辽宁卷)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac.已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解(1)由BABC2得 cacos B2.又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B又 b3，所以 a2c
7、29261313.解ac6，a2c213 得 a2，c3 或 a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2.一审：如何转化BABC2.二审：条件 cos B13，b3的用途三审：向结论 a 和 c 的转化(2)在ABC 中，sin B 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 23 4 29.因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C14 29279.于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792 23 4 292327.探究提高 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函
8、数中，三角函数和差角公式的灵活运用是解决此类问题的关键【训练 2】(2014浙江卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 4sin2AB24sin Asin B2 2.(1)求角 C 的大小；(2)已知 b4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值解(1)由已知得 21cosAB 4sin Asin B2 2，化简得2cos Acos B2sin Asin B 2，故 cos(AB)22，所以 AB34，从而 C4.(2)因为 SABC12absin C，由 SABC6，b4，C4，得 a3 2.由余弦定理 c2a2b22abcos C，得 c 10.热点三 三角函
9、数、解三角形与平面向量的综合应用三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题【例 3】(2015湖北七市(州)联考)已知向量 mcos x2，1，n3sin x2，cos2x2，设函数 f(x)mn1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a2b26abcos C，sin2C2sin Asin B，求 f(C)的值解(1)f(x)3sin x2c
10、os x2cos2x21 32 sin x12cos x12sinx6 12.令 2k2x62k2，2k3x2k23(kZ)，所以所求增区间为2k3，2k23(kZ)审题流程一审：mn的运算二审：函数f(x)的单调增区间的求解方法三审：条件，a2b26abcos C，sin2C2sin Asin B的转化(正、余弦定理的应用)四审：如何求角C(2)由 a2b26abcos C，sin2C2sin Asin Bc22ab，cos Ca2b2c22ab6abcos C2ab2ab3cos C1，即 cos C12，又0C，C3，f(C)f3 1.探究提高(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，
11、通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响【训练 3】(2014太原模拟)已知 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x,1)(xR)(1)求 f(x)的周期和单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，ABAC3，求边长 b 和 c 的值(bc)解(1)由题意知，f(x)2cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos2x3，f(x)的最小正周期 T，ycos x 在2k，2k(kZ)上单调递减，令 2k2x32k，得 k6xk3.f(x)的单调递减区间为k6，k3，kZ.(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1.又32A373，2A3.A3.ABAC3，即 bc6，由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc,7(bc)218，bc5，又 bc，b3，c2.
