1、第一章 解三角形-小结与复习一、教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关解三角形的基本问题；过程与方法： 通过对典型问题的解决，提高知识的综合运用能力，加深对正、余弦定理的理解；情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二重点难点重点：运用正、余弦定理解决解三角形问题难点：对知识的综合运用能力三、教材与学情分析首先通过对知识的梳理，达到知识的系统化。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系
2、，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，引导学生分析问题，提高解题能力。四、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教学五、教学过程（一）知识梳理：1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：知两角及一边解三角形； 知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）（2）用余弦定理：知三边求三角； 知道两边及这两边的夹角解三角形2：应用举例距离问题， 高度问题， 角度问题， 计算问题（二）典例解析题型一. 利用正、余弦定理解三角形例1.在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长 解设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bcco
3、sBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C
4、)(ac)sin A，则角B的大小为()A30 B45 C60 D120(2)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.(1)A (2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b. 题型二. 判断三角形的形状例2.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B
5、，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形因为acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos
6、 Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形 法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.题型三. 与三角形面积有关的问题例3.已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b2
7、2ac. 因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2s
8、in Ccos Csin C.可得cos C，所以C(2)由已知得absin C.又C，所以ab6由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5题型四. 解三角形应用问题例4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.100由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m
9、)例5.在海岸A处，发现北偏东45方向、距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？ 解设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.根据余弦定理，可得BC，由正弦定理，得sinABCsinBAC，ABC45，因此BC与正北方向垂直.于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30，又，即，得t.当缉私船沿北偏东60的方向
10、能最快追上走私船，最少要花小时.规律方法应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案变式训练4江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.10如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m) 变式训练5如图，从某电视塔
11、CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60，在电视塔的南偏西60的B处测得塔顶的仰角为45，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为_米5可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米设OCx米，则OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此电视塔的高度是5米变式训练6如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值 解在ABC中，
12、AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)sinACB sin 30.六、课堂小结1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3.解三角形应用题的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解七、课后作业1.课时练与测八、教学反思
