1、山东省实验中学2010级第三次诊断性测试数学试题（理科）（2012.12）注意事项：本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题），共两卷。其中第卷为第1页至第2页，共60分；第卷为第3页至第6页，共90分；两卷合计150分。考试时间为120分钟。本科考试不允许使用计算器。第卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、 设，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若，则有或，解得或，所以是充分不必要条件，选A.2、下列函数中，在其定义域内，既是
2、奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】在定义域上是奇函数，但不单调。为非奇非偶函数。在定义域上是奇函数，但不单调。所以选C.3.若，则等于（ ） A.2 B. C. D.-2【答案】D【解析】由得，所以选D.4.函数的零点有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】由得，做出函数的图象，如图由图象中可知交点个数为1个，即函数的零点个数为1个，选B.5.已知两条直线和互相平行，则等于（ ） A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3【答案】A【解析】因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A
3、.6.设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题:是任意实数，若，则，则（ ） A.“或”为真 B.“且”为真 C.假真 D.，均为假命题【答案】A【解析】，所以切线斜率为，切线方程为，即，所以为真。当时，此时，所以命题为假。所以“或”为真，选A.7.已知函数，则的大致图象是（ ）【答案】B【解析】,所以非奇非偶，排除A,C. ,即过点，选B.8.在等差数列中，其前项和为，若，则的值等于（ ） A.-2012 B.-2013 C.2012 D.2013【答案】B【解析】，所以，所以，所以，选B.9.已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面
4、积是2，则的值为（ ） A.3 B. C. D.2【答案】D【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以，选D.10.已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数。若，且是正整数，则q的值可以是（ ） A. B.- C. D.-【答案】C【解析】由题意知，所以，因为是正整数，所以令，为正整数。所以，即，解得，因为为正整数，所以当时，。符合题意，选C.11.已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（ ） A.3 B. C.2 D.【答案】C【解
5、析】，函数的值域为，所以，且，即，所以。所以，所以，所以最小值为2，选C.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A.（0， B.（） C.（0，） D.（，1）【答案】D【解析】根据正弦定理得，所以由可得，即，所以，又，即，因为，(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以，即，所以，即，所以，解得，即，选D.第卷（非选择题 90分）题号二171819202122总分分数二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则= .【答案】【解析】因为焦点在轴上。所以，所以。椭圆的离心率为，所
6、以，解得。14.若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。当时，要使两个函数的图象有两个公共点，则有，即，所以的取值范围是。15.若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围 .【答案】【解析】由得要使解集中只有一个整数，则由可知，不等式的解为，且，即，所以的取值范围是。16.当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为 .【答案】-12【解析】的最大值为12，即，由图象可知直线也经过点B.由，解得，即点,代入直线得。三 解答题：本大题共6小题，共74分
7、。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。得分评卷人17. （本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式.得分评卷人18. （本小题满分12分）在内，分别为角A，B，C所对的边，a,b,c成等差数列，且a=2c。（1） 求的值；（）若，求b的值。得分评卷人19. （本小题满分12分）设函数.（）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；（）将满足（）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。得分评卷人20. （本小题满分12分）已知单调递增的等比
8、数列满足：，且是的等差中项。（）求数列的通项公式；（）若，求成立的正整数的最小值。得分评卷人21. （本小题满分12分）已知长方形ABCD，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（）过点P（0，2）的直线交（）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。得分评卷人22.（本小题满分14分）已知函数的导数为实数，.（）若在区间-1，1上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；（）在（）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（）设函数，试判
9、断函数的极值点个数。实验中学三诊数学（理）参考答案及评分标准 2012.2一、 选择题题号123456789101112答案ACDBAABBDCCD二、 填空题：13.；14.；15. 16.-12三、 解答题（本大题共6小题，共74分）17. 由题意知.且故二次函数在区间上是增函数.4分又因为，6分故由二次函数的单调性知不等式等价于即 10分故即不等的解为：.12分18. 解：（）因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b， 2分 又，可得， 4分 所以，6分（）由（），所以， 8分因为，所以，10分得. 12分19. 解（）， （2分） . 由，得. 故函数的单调递减区间是. （6分）（2
10、） . 当时，原函数的最大值与最小值的和，. （8分）（3） 由题意知 （10分） =1 （12分）20、 解：（）设等比数列的首项为，公比为q，依题意，有，代入得 2分 解之得 4分又单调递增， 6分（），7分 -得 10分，又， 11分当时，.故使，成立的正整数的最小值为5. 12分21. 解：（）由题意可得点A，B，C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是则 2分.椭圆的标准方程是. 4分（）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.5分设M，N两点的坐标分别为.联立方程：消去整理得，有 7分若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，8分所以，即所以，即， 9分得. 10分所以直线的方程为，或.1
11、1分所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。12分22. 解：（）由已知得，1分由得.，当时，递增；当时，递减.在区间-1，1上的最大值为.3分又.由题意得，即，得为所求。 5分（）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。（1） 当切点为P（2，1）时，切线的斜率，的方程为.6分（2） 当切点P不是切点时，设切点为切线的余率，的方程为。又点P（2，1）在上，.切线的方程为.故所求切线的方程为或.8分（）解：. 10分二次函数的判别式为得：.令，得，或。，时，函数为单调递增，极值点个数0； 12分当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点. 14分
