1、高 考 总 复 习 优 化 设 计 GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI 第二节 常用逻辑用语 第一章 2023内容索引0102强基础 增分策略 增素能 精准突破 课标解读 衍生考点 核心素养 1.通过典型数学命题,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解判定定理与充分条件的关系,性质定理与必要条件的关系,理解数学定义与充要条件的关系.3.通过实例,理解全称量词与存在量词的意义,能正确对全称量词命题与存在量词命题进行否定.1.充分条件与必要条件 2.全称量词与存在量词 数学抽象 逻辑推理 强基础 增分策略 知识梳理 1.命题 概念 可供 的 语句 特点(1
2、)可判断真假;(2)陈述句 分类 判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题 真假判断陈述2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 任意、所有、存在量词 存在、有、每一个 至少有一个3.全称量词命题和存在量词命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对集合M中的所有元素x,r(x)存在量词命题 存在集合M中的元素x,s(x)xM,r(x)xM,s(x)4.全称量词命题和存在量词命题的否定 有些命题中省略了量词,在进行否定时应改写为完整形式,再进行否定 命题 命题的否定 xM,p(x)xM,q(x)xM,p(x)xM,q(x)5.充分条件、必要条件与充要条件
3、的概念 pq p是q的 条件,q是p的 条件 pq且q p p是q的 条件 p q且qp p是q的 条件 pq且qp p是q的 条件 pq且q p p是q的既不充分也不必要条件 充分必要充分不必要必要不充分充要微点拨全称量词命题与存在量词命题的真假判断(1)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个xM,使得p(x)不成立即可.(2)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x,使得命题p(x)成立即可;否则这一命题就是假命题.常用结论
4、1.若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q中相应变量的取值集合分别记为A,B,那么有以下结论:集合关系 结论 AB p是q的充分不必要条件 AB p是q的充分条件 AB p是q的必要不充分条件 AB p是q的必要条件 A=B p是q的充要条件 2.p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件.3.以下说法是等价的:pq;p是q的充分条件;q是p的必要条件;q的充分条件是p;p的必要条件是q.4.全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.对点演练 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(2)“”是“sin sin
5、”的充要条件.()(3)写存在量词命题的否定时,存在量词应变为全称量词.()(4)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则r是p的必要不充分条件.()2.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是()A.存在一个,使tan=tan(90-)B.存在实数x,使sin x=C.对一切,使sin=sin(180-)D.sin(-)=sin cos-cos sin 2 答案 A 解析 只有A,B两个选项中的命题是存在量词命题,因为|sin x|1,所以sin x=不成立,故B中命题为假命题.又因为当=45时,tan=tan(90-),故A中命题为真命题.2 3.“xy0”是下列哪一项的必要不充
6、分条件()A.lg xlg yB.1 1C.23 x -1答案 D 解析 当 xy0 时,不一定有-1 -1,例如 x=12,y=13,但当-1 -1时,必有 xy1,从而有 xy0,故“xy0”是“-1 -1”的必要不充分条件.增素能 精准突破 考点一充分条件与必要条件(多考向探究)考向1.充分条件与必要条件的判断 典例突破 例1.(1)(2021广东汕头高三期末)已知a,b为非零实数,则“ab”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2021浙江余姚高三月考)已知x,yR,则“x2y”是“sin x2sin ycos y”的()A.充分
7、不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件|0,|b|0,因此|a|a|b|b|.又因为函数 y=x|x|在 R 上单调递增,所以 aba|a|b|b|,故 ab|,即“ab”是“|”的充要条件.(2)由于“sin x=2sin ycos y=sin 2y”是“x=2y”的必要不充分条件,因此“x2y”是“sin x2sin ycos y”的必要不充分条件,故选B.(3)当m时,不一定有,也可能,相交,但当时,必有m,即“m”不是“”的充分不必要条件,而是必要不充分条件,故A错误,B正确;当m时,当时,不一定有m,故“m”是“”的充分不必要条件,故C,D均错误.方法总结
8、 对点训练1(1)(2021山东潍坊高三期中)已知非零向量a,b,给定p:R,使得a=b,q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2021 河北石家庄高三月考)“cos=35”是“sin 2+2=-725”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案(1)B(2)A 解析(1)由q可得向量a,b同向共线,所以qp;反之不成立.所以p是q的必要不充分条件,故选B.(2)因为 sin 2+2=cos 2=2cos2-1=-725,所以 cos=35,因此 cos=3
9、5sin 2+2=-725,但 sin 2+2=-725cos=35,故“cos=35”是“sin 2+2=-725”的充分不必要条件.考向2.充分条件与必要条件的探求 典例突破 例2.(2021湖北武汉高三期末)已知向量a=(x,y),b=(cos,sin),其中x,y,R.若|a|=4|b|,则“ab3或1或-1 C.-33D.-11 答案 B 解析 由已知得|b|=1,所以|a|=4,因此ab=xcos+ysin=sin(+)=4sin(+)4,由于ab4,解得2或-2,这是“ab2”的充要条件,因此“ab1或b0B.ba0 C.abD.a 答案 B 解析 由于+1+1 =-(+1),显
10、然当 ba0 时,-(+1)0,必有+1+1 ,但当+1+1 时,不一定有 ba0,故“ba0”是“+1+1 ”的充分不必要条件.考向3.根据充分条件与必要条件求参数取值范围 典例突破 例3.(2021福建龙岩高三月考)若“ak”是“一次函数y=(a-3)x+(a-2)的图像不经过第一象限”的充分不必要条件,则实数k的取值范围是 .答案(-,2)解析 若一次函数y=(a-3)x+(a-2)的图像不经过第一象限,则有解得a2,即“一次函数y=(a-3)x+(a-2)的图像不经过第一象限”的充要条件是“a2”,因此,如果“ak”是“一次函数y=(a-3)x+(a-2)的图像不经过第一象限”的充分不
11、必要条件,则k2.-3 0,-2 0,名师点析根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤(1)记集合M=x|p(x),N=x|q(x);(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:条件类别 集合M与N的关系 p是q的充分不必要条件 MN p是q的必要不充分条件 MN p是q的充要条件 M=N(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.对点训练3(2021山东泰安高三模拟)已知p:xa,q:|x+2a|3,且p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.(-,-1B.(-,-1)C.1,+)D.(1,+)答案 A 解析 因为q:|x+2
12、a|3,所以q:-2a-3x-2a+3,记A=x|-2a-3x1,-10”的否定是()A.x1,-10B.x1,-10C.x1,-10D.x1,-10答案 D 解析 根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得,该命题的否定为x1,0,故选D.-1 名师点析含有一个量词的命题的否定 对一个全称量词命题或存在量词命题进行否定时,必须要把命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定,即“改变量词,否定结论”.对点训练4(2021湖北武汉高三起点考试)已知命题p:所有的三角函数都是周期函数,则p为()A.所有的周期函数都不是三角函数 B.所有的三角函数都不是周期函数 C.有些周期函数不
13、是三角函数 D.有些三角函数不是周期函数 答案 D 解析 命题p为全称量词命题,其否定应为存在量词命题,故选D.考向2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断 典例突破 例5.(多选)(2021北京西城高三检测)下列命题是真命题的为()A.存在实数,使得sin(+)=sin B.任意直线都存在斜率 C.xR,sin x+cos x-2 D.xR,x2-2x+30,所以不存在xR,使x2-2x+3-2 对点训练5(2021山东德州高三月考)下列命题为假命题的是()A.aR,y=2x-a2-x为偶函数 B.x 12C.xQ,13x2+12x+1 是有理数D.xR,x4x5 答案 D 解析 当a=-1
14、时,y=2x-a2-x为偶函数,故A中命题为真命题;当x=1时,故B中命题为真命题;C选项中命题显然为真命题;当x=0时,x4 12 考向3.根据命题的真假求参数的取值范围 典例突破 例6.(2021辽宁沈阳高三第二次质检)若“x ,2x2-x-10”是假命题,则实数的取值范围是 .12,2 答案(-,-1 解析 因为“x 12,2,2x2-x-10”是假命题,所以“x 12,2,2x2-x-10”是真命题,分离参数得 2x-1,由于函数 y=2x-1在 12,2 上单调递增,因此ymin=212 112=-1,所以-1.名师点析应用全称量词命题与存在量词命题求参数取值范围的注意点(1)全称量
15、词命题多与“恒成立”问题有关,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入求解,也可以根据函数或不等式中恒成立问题的求解方法求解.(2)存在量词命题多以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论做出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致了矛盾,则否定了假设.对点训练6(2021湖北武汉高三期末)已知命题p:“x ,cos 2x+cos x-m=0”为真命题,则实数m的取值范围是()0,2 A.-2,2B.-1,2 C.-2,1D.-98,+)答案 B 解析 依题意,方程 cos 2x+cos x-m=0 在 0,2 上有解,即 m=cos 2x+cos x 在 0,2 上有解,令 f(x)=cos 2x+cos x,则 f(x)=2cos2x+cos x-1,由于 x 0,2,所以cos x0,1,于是 f(x)=2cos2x+cos x-1-1,2,即函数 f(x)的值域为-1,2,故实数 m 的取值范围是-1,2.
