1、高二数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分时间120分钟，共150分 第卷 选择题（共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数定义，可求得的值；代入后可得复数，再根据复数的除法运算即可求得的值.【详解】复数是纯虚数，则，解得，所以，则，故选：B.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.
2、2.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用换元法求得函数的解析式，再根据导数的除法运算法则即可求解.【详解】函数，令，则，所以，则，由导数除法运算法则可得，故选：C.【点睛】本题考查了换元法求函数解析式，导数除法法则的简单计算，属于基础题.3.某单位为了解用电量（度）与气温（）之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程，那么表中的值为（ ）气温（）181310-1用电量（度）243464A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由表中数据计算可得样本中心点，根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值.【详解】
3、由表格可知，根据回归直线经过样本中心点，代入回归方程可得，解得，故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的简单应用，由回归方程求数据中的参数，属于基础题.4.给出下列四个命题：若，则；若，且，则；若复数满足，则；若，则在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方运算，结合特殊值即可判断；由复数性质，不能比较大小可判断；根据复数的除法运算及模的求法，可判断；由复数的乘法运算及复数的几何意义可判断.【详解】对于，若，则错误，如当时 ，所以错误；对于，虚数不能比较大小，所以错误；对于，复数满足，即，所以，即正确；对于，若，
4、则，所以，在复平面内对应点的坐标为，所以正确；综上可知，正确的为，故选：B.【点睛】本题考查了复数的几何意义与运算的综合应用，属于基础题.5.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解.【详解】函数 则，所以，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.6.若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据最大项系数可得的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数.【详解】展开式中只有第四项的系数
5、最大，所以，则展开式通项为，因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项，故选：D.【点睛】本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题.7.如图所示，圆为正三角形的内切圆，为切点，将一颗豆子随机地扔到该正三角形内，在已知豆子落在圆内的条件下，豆子落在（阴影部分）内的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正三角形的边长为，内切圆半径为，求得内切圆半径，即可得阴影部分的面积；再求得三角形的面积，结合几何概型的求法即可得解.【详解】设正三角形的边长为，内切圆半径为，则由三角形面积公式可得，解得，则，所以由几何概型概率可得落在阴影部
6、分的概率为,故选：A.【点睛】本题考查了等边三角形内切圆的性质应用，几何概型概率求法，属于基础题.8.在的展开式中，记项的系数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，表示出展开式的项对应次数，由二项式定理展开式的性质即可求得各项对应的系数，即可求解.【详解】由题意记项的系数为，可知对应的项为；对应的项为；对应的项为；对应的项为；而展开式中项的系数为；对应的项的系数为；对应的项的系数为;对应的项的系数为;所以，故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理展开式及性质的简单应用，属于基础题.9.已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（ ）A. B
7、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【详解】函数，定义域为；则，即为奇函数，函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，所以不等式变形可得，即，则，解不等式组可得，即，故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.10.要将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据
8、题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；甲被分到A班，有两种情况：一，甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；综上可知，甲被分到班的概率为，故选：B.【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分组时注意
9、重复情况的出现，属于中档题.11.已知奇函数在上是单调函数，函数是其导函数，当时，则使成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式变形，并构造函数，利用导函数可判断在时的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当时的符号，进而得解.【详解】当时，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，由于此时，则不合题意；当时，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为，故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.12.已知函数的定义域为，若对于
10、，分别为某三角形的三边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：.其中为“三角形函数”的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据构成三角形条件，可知函数需满足，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立.【详解】根据题意，对于，分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足：对于，如当时不能构成三角形，所以不是“三角形函数”；对于，则，满足，所以是“三角形函数”；对于，则，当时不能构成三角形，所以不是“三角形函数”；对于，由指数函数性质可得，满足，所以是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有，故选：B.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用
11、，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题.第卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第卷答题纸的指定位置在试题卷上答题无效二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据排列数计算公式可求得，结合组合数的性质即可化简求值.【详解】根据排列数计算公式可得，所以，化简可解得，则由组合数性质可得，故答案为：462.【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.14.已知复数满足方程，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系
12、，及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为的最小值.【详解】复数满足方程，设（），则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；，意义为圆上的点到的距离，由点与圆的几何性质可知，的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.15.有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为_【答案】【解析】【分析】设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【详解】设
13、圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【点睛】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.16.已知函数为偶函数，对任意满足，当时，.若函数至少有个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据偶函数性质及解析式满足的条件，可知的对称轴和周期，并由时的解析式，画出函数图像；根据导数的几何意义，求得时的解析式，即可求得的临界值，进而确定的取值范围.【详解】函数至少有个零点，由可得函数为偶
14、函数，对任意满足，则函数图像关于对称，函数为周期的周期函数，当时，则的函数图像如下图所示：由图像可知，根据函数关于轴对称可知，若在时至少有两个零点，则满足至少有个零点，即在时至少有两个交点；当与相切时，满足有两个交点；则，设切点为，则，解方程可得，由导数的几何意义可知，所以满足条件的的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点的应用，方程与函数的综合应用，根据导数求函数的交点情况，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知二次函数的值域为，且，. （）求的解析式；（）若函数在上是
15、减函数，求实数的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）设二次函数的解析式为，根据题意可得关于的方程组，解方程组即可求得的解析式；（）将的解析式代入，并构造函数，根据复合函数单调性的性质，即可得知在上为单调递增函数.根据二次函数的对称性及对数函数定义域要求即可求得的取值范围.【详解】（）设，由题意知.则，解得， 所以的解析式为. （）由题意知，令，则为单调递减函数，所以在上是单调递增函数. 对称轴为，所以，解得. 因为，即，解得. 综上：实数的取值范围为.【点睛】本题考查了二次函数的性质及解析式的求法，对数型复合函数单调性的性质应用，注意对数函数定义域的要求，属于基础题.18.第届冬季奥
16、林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：（）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；（）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？不是“A类”调查对象是“A类”调查对象总计男女总计附参考公式与数据：，其中.【答案】（）见解析，（）见解析，没有【解析】【分析】（）由茎叶图可知得分不
17、低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.（）根据数据完成列联表，结合公式即可求得观测值，与临界值作比较即可进行判断.【详解】（）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人. 所以的可能取值为. 则，. 所以的分布列为所以. （）不是“A类”调查对象是“A类”调查对象合计男女合计所以， 因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.19.设函数.
18、（）求的值；（）设，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围【答案】（）8（）【解析】【分析】（）根据二项定理展开式展开，即可确定对应项的系数，即可求解.（）代入值后可求得的解析式，经过检验可知点不在曲线上，即可设切点坐标为，代入曲线方程并求得，由导数的几何意义及两点间斜率公式，可得方程，且由题意可知该方程有三个不同的实数根；分离参数并构造函数，进而求得，令求得极值点和极值，由直线截此图象有三个交点即可确定的取值范围.【详解】（）根据二项式定理展开式的应用，展开可得所以（）由题意 因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线斜率为 则，即 因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的
19、实数解 分离参数， 设函数，所以，令，可得，令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极大值为，极小值为. 用直线截此图象，当两图象有三个交点，即时，即可作曲线的三条切线.【点睛】本题考查了二项式定理展开式的简单应用，两点间斜率公式及导数的几何意义应用，分离参数及构造函数研究三次函数性质的综合应用，属于中档题.20.山东省高考改革试点方案规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的
20、考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布（）求化学原始分在区间的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列. （附：若随机变量，则， ）【答案】（）1227人（）（III）见解析【解析】【分析】（）根据正态分布的区间
21、及对称性质，利用原则及数据即可得化学原始分在区间的概率，进而求得改区间内的人数；（）先求得再区间内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率，由独立重复试验的概率公式，即可求得人中至少有人成绩在改区间的概率；（III）根据题意可知随机变量的可能取值为. 根据所给各科目获得等的概率，由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率，即可得分布列.【详解】（）因为化学考试原始分基本服从正态分布，即，所以，所以化学原始分在区间的人数为人. （）由题意得，位于区间内所占比例为，所以随机抽取人，其成绩在内概率为， 所以随机抽取人，相当于进行次独立重复试验. 设这人中至少有人成绩在为事件，则. （II
22、I）随机变量的可能取值为. 则， ，. 所以的分布列为【点睛】本题考查了正态分布曲线的性质及综合应用，独立重复试验概率的求法，独立事件概率乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法，属于中档题.21.设函数.（）求函数的单调区间；（）当时，对任意恒成立，求整数的最大值.【答案】（）当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（）2【解析】【分析】（）根据解析式求得导函数，讨论与两种情况，结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性；（）将代入解析式，并代入不等式分离参数，构造函数，求得，在令，由即可证明在单调递增，再根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，进而由单调性求得，整理
23、化简后可得，即可得整数的最大值.【详解】（）函数的定义域为， 当时，恒成立，所以在内单调递增. 当时，由得，且在区间内，在区间内. 综上可得，当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（）将代入函数解析式，可求得，代入不等式可得，即对任意恒成立，令，只需. ，令，所以在单调递增，显然有，所以存在唯一的，使得.在，单调递减；在，单调递增.所以，此时，可得，所以，因为，所以， 所以整数的最大值为.【点睛】本题考查了由导数判断含参数的函数单调性，分类讨论思想的综合应用，分离参数并构造函数分析函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，综合性强，化简过程较为繁琐，属于难题.22.已知函数（其中
24、）（）当时，证明：当时，；（）若有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.【答案】（）见解析（）（i）（ii）见解析【解析】【分析】（）将代入解析式，并求得导函数及，由求得极值点并判断出单调性，并根据单调性可求得的最小值，由即可证明在上单调递增，从而由即可证明不等式成立；（）（i）由极值点意义可知有两个不等式实数根，分离参数可得，构造函数，并求得，分类讨论的符号及单调情况，即可确定的最小值，进而由函数图像的交点情况确定的取值范围；（ii）由（i）中的两个交点可得，代入解析式并求得且令，分离参数可得并代入中，求得，从而证明在上单调递增，即可由单调性证明不等式成立.【详解】（）当时，由解得 . 当时，当时 所以在上单调递减，在上单调递增，恒成立， 所以在上单调递增，所以，原不等式得证. （）（i）若有两个极值点，则有两个根，又显然不是方程的根，所以方程有两个根. 令，当时，且，单调递减；当时，单调递减；当时，单调递增； ，且，用直线截此图象，所以当，即时满足题意. （ii）证明：由（i）知， ，则，所以在上单调递增，所以，即.原题得证.【点睛】本题考查了由导数证明不等式成立，导数与函数单调性、极值点和最值的综合应用，分离参数法与构造函数法的综合应用，函数极值点与零点、函数图像交点的关系，综合性强，属于难题.
