1、3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 奇偶性的概念 第三章 函数 学 习 任 务核 心 素 养 1理解奇函数、偶函数的定义(重点)2了解奇函数、偶函数图像的特征(一般)3 掌 握 判 断 函 数 奇 偶 性 的 方法(重点、难点)1借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养2借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影 问题(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？知识点一
2、奇函数、偶函数的定义 奇偶性偶函数奇函数 条件设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD 结论f(x)f(x)f(x)f(x)图像特点关于对称关于对称 原点y轴1具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示 定义域关于原点对称1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)奇函数的图像一定过原点()(2)如果定义域内存在 x0，满足 f(x0)f(x0)，函数 f(x)是偶函数()(3)若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)0，则函数f(x)是奇函数()答案(1)(2)(3)提示(1)不一定，如函数 f(x)1x.(2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个
3、x 都成立(3)若 f(x)f(x)0，则 f(x)f(x)2.下列函数中，即是奇函数又是减函数的为()Ayx1 By3x2 Cy 12xDyx|x|D 选项中是奇函数的只有 C、D，而它们中 y 12x在定义域上不是减函数，只有 D 符合题意知识点二 奇函数、偶函数的图像特征(1)奇函数的图像关于对称，偶函数的图像关于对称(2)如果一个函数的图像关于原点对称，那么它是函数；如果一个函数的图像关于 y 轴对称，那么它是函数原点y轴奇偶2.若 f(x)为奇函数，且点(x，f(x)在其图像上，则哪一个点一定在其图像上？若 f(x)为偶函数呢？提示 若 f(x)为奇函数，则(x，f(x)在其图像上；
4、若 f(x)为偶函数，则(x，f(x)在其图像上 3.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()A B C D B B 选项的图像关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性4.函数 yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则 a 等于()A1 B0 C1 D无法确定 C 奇函数的定义域关于原点对称，a10，即 a1合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 函数奇偶性的判断【例 1】(1)已知 yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数(2)函数 f(x)13x2x 的图像关于()Ay 轴对称
5、B坐标原点对称C直线 yx 对称D直线 yx 对称(3)判断下列函数的奇偶性：f(x)|2x1|2x1|；f(x)2x22xx1；f(x)1x2，x0，0，x0，x21，x0 时，f(x)1x2，此时x0，所以 f(x)(x)21x21，所以 f(x)f(x)；当 x0，f(x)1(x)21x2，所以 f(x)f(x)；当 x0 时，f(0)f(0)0.综上，对 xR，总有 f(x)f(x)，所以 f(x)为 R 上的奇函数 判断函数奇偶性的 2 种方法(1)定义法：(2)图像法：跟进训练1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)f(x)x3；f(x)|x|1；f(x)1x2；f(x)x1x；f(
6、x)x2，x1,2 对于，xR，f(x)x3f(x)，则为奇函数；对于，xR，f(x)|x|1|x|1f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)1x21x2f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)x1xf(x)，则为奇函数；对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数类型 2 奇偶函数的图像问题【例 2】已知奇函数 f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示(1)画出在区间5,0上的图像；(2)写出使 f(x)0 的 x 的取值集合解(1)因为函数 f(x)是奇函数，所以 yf(x)在5,5上的图像关于
7、原点对称由 yf(x)在0,5上的图像，可知它在5,0上的图像，如图所示(2)由图像知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(2，0)(2,5)变条件将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解(1)如图所示：(2)由(1)可知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(5，2)(2,5)巧用奇、偶函数的图像求解问题(1)依据：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题跟进训练2如图是函数 f(x)1x21在区间0，)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据
8、解 因为 f(x)1x21，所以 f(x)的定义域为 R.又对任意 xR，都有f(x)1x211x21f(x)，所以f(x)为偶函数，所以 f(x)的图像关于 y轴对称，其图像如图所示 类型 3 利用函数的奇偶性求值 1对于定义域内的任意 x，若 f(x)f(x)0，则函数 f(x)是否具有奇偶性？若 f(x)f(x)0 呢？提示 由 f(x)f(x)0 得 f(x)f(x)，f(x)为奇函数 由 f(x)f(x)0 得 f(x)f(x)，f(x)为偶函数2若 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示 若 f(x)为奇函数，则 f(0)0；若 f
9、(x)为偶函数，则无法求出 f(0)的值【例 3】(1)若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a1,2a，则 a_，b_；(2)已知 f(x)x7ax5bx3cx2，若 f(3)3，则 f(3)_.思 路 点 拨 (1)fx是偶函数 定义域关于原点对称求a的值 图像关于y轴对称求b的值(2)令gxx7ax5bx3cx判断gx的奇偶性计算g3 代入求得f3(1)13 0(2)7 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得 a13.又函数 f(x)13x2bxb1 为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得 b0.(2)令 g(x)x7ax5bx3cx，则 g(x)是奇函数
10、，所以 f(3)g(3)2g(3)2，又 f(3)3，所以 g(3)5.又 f(3)g(3)2，所以 f(3)527.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数 f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用 ab0 求参数(2)解析式含参数：根据 f(x)f(x)或 f(x)f(x)列式，比较系数即可求解跟进训练3若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_.4 法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，两式恒相等，则 a40，即 a4.法二：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，要使函数为偶函数，只
11、需多项式的奇次项系数为 0，即 a40，则 a4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)ax2c 的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a4.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1函数 f(x)3x2x的图像关于()Ax 轴对称 B原点对称Cy 轴对称D直线 yx 对称1 3 5 2 4 B 由3x20，x0得 f(x)的定义域为 3，0)(0，3，关于原点对称 又 f(x)3x2x 3x2x 3x2x f(x)，f(x)是奇函数，f(x)3x2x的图像关于原点对称2 1 3 4 5 2函数 f(x)|x|1 是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇
12、非偶函数B f(x)|x|1|x|1f(x)，f(x)为偶函数3 1 2 4 5 3已知函数 f(x)ax22x 是奇函数，则实数 a_.0 f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20 对任意 xR恒成立，所以 a0.4 1 2 3 5 4已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x2x，则 f(2)_.2 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，并且 x0 时，f(x)x2x，所以 f(2)f(2)(2)2(2)2.2 4 5 1 3 5如图，给出奇函数 yf(x)的局部图像，则 f(2)f(1)_.2 由题图知 f(1)12，f(2)32，又 f(x)为奇函
13、数，所以 f(2)f(1)f(2)f(1)32122.回顾本节知识，自我完成以下问题：1你对函数奇偶性定义是怎样理解的？提示(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称2根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图像有什么特点？提示 偶函数的图像关于 y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称3判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？提示(1)定义法；(2)图像法点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
