1、高考资源网（） 您身边的高考专家第8节函数与方程考试要求结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210常用结论与微点提醒
2、1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0
3、时没有零点.()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)2.(老教材必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，得f(x)在R上单调递增，又f(1)30，则f(1)f(0)0.因此函数f(x)有且只有一个
4、零点.答案B4.(2020石家庄模拟)f(x)exx2在下列哪个区间必有零点()A.(1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)解析f(1)10，f(0)10，f(1)e30，因为f(1)f(2)0，所以f(x)在(1，2)内存在零点.答案C5.(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析2sin xsin 2x0，得sin x0或cos x1.又x0，2，由sin x0，得x0，2.由cos x1，得x0，2.f(x)0有三个实根0，2，即f(x)在0，2上有三个零点.答案B6.(2020济南质检)若二次函数f(
5、x)x22xm在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是_.解析mx22x在(0，4)上有解，又x22x(x1)21，yx22x在(0，4)上的值域为(8，1，8m1.答案(8，1考点一函数零点所在区间的判定【例1】 (1)已知函数f(x)为奇函数，g(x)ln x2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)(2)设函数yx3与y的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.解析(1)由函数f(x)为奇函数，可得a0，则g(x)ln x2f(x)ln x.又g(2)ln 210，所以g(2)g
6、(3)0.故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).(2)设f(x)x3，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与y的图象如图所示.因为f(1)110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2).答案(1)C(2)(1，2)规律方法1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满
7、足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.【训练1】 (2020保定检测)函数f(x)x4的零点所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析函数f(x)x4在R上的图象连续不间断.又f(1)120，f(1)f(2)1时，令f(x)ln(x1)0，得x2.当x1时，令f(x)2x110，得x1.函数f(x)的零点为x1与x2，有2个零点.(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0)，yln x(x0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.答案(1)C(2)C规律方法函数零点个数的判断方法：
8、(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，sin x0，所以f(x)0，故f(x)在0，1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0，1内有唯一零点.当x1时，f(x)cos x0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点.答案(1)B(2)B考点三函数零点的应用多维探究角度1根据函数零点个数求参数【例31】 (2020九江联考)已知f(x)若关于x的方程af(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是()A.1，2) B.1，2)C.(1，2) D.1，2)解析依题意直线ya与yf(x)的图象有
9、两个交点.作出ya，yf(x)的图象，如图所示.又当x1时，f(x)(0，1；当x1时，f(x)x24x2(x2)22，当x2时，f(x)有最大值f(2)2.结合图象，当a1，2)时，两图象有2个交点.此时，方程af(x)有两个不同实根.答案B角度2根据零点的范围求参数【例32】 (1)方程2x3xk的解在1，2)内，则k的取值范围是_.(2)(2020合肥模拟)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2 020(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A.acdb B.abcdC.cdab D.cabd解析(1)令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数.当方
10、程2x3xk的解在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5kcdb.答案(1)5，10)(2)A规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【训练3】 (1)(角度1)(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A. B. C. D.1(2)(角度2)若函数yxlog2(a2x)2在R上有零
11、点，则实数a的最小值为_.解析(1)f(x)(x1)21a(ex1e1x)，则f(2x)(2x1)21ae2x1e1(2x)(1x)21a(ex1e1x)f(x)，即f(x)的图象关于直线x1对称.若f(x)有唯一的零点，则只有f(1)0，a.或：作出ya(ex1ex1)与yx22x的图象.结合函数的最值求解(读者自行完成).(2)令xlog2(a2x)20，则a2x2(x2).依题意，关于x的方程a2x2(x2)有解.又2x2(x2)21.当且仅当x1时，等号成立.a1，故a的最小值为1.答案(1)C(2)1直观想象解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或
12、范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.类型1嵌套函数零点个数的判断【例1】 已知f(x)则函数y2f(x)23f(x)1的零点个数是_.解析由2f(x)23f(x)10得f(x)或f(x)1，作出函数yf(x)的图象如图所示.由图象知y与yf(x)的图象有2个交点，y1与yf(x)的图象有3个交点.因此函数y2f(x)23f(x)1的零点有5个.答案5【例2】 已知函数f(x)则函数F(x)f(f(x)2f(x)的零点个数是()A.4 B.5 C.6 D.7解析令
13、f(x)t，则函数F(x)可化为yf(t)2t，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)2t0的根的问题.令yf(t)2t0，则f(t)2t.分别作出yf(t)和y2t的图象，如图，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1t2)，则t10，1t2t1)，则t11，t21.当t11时，令f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.答案D2.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a
14、)和(c，)解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.答案A3.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2)C.(0，3) D.(0，2)解析因为函数f(x)2xa在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x
15、)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0.答案D5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C. D.解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，又函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，所以2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.答案C6.已知函数f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零点依次为a，b，c，则()A.abc B.acbC.bca D.bac解析令函数f(x)2xx10，可知x0，即a0；令g(
16、x)log2xx10，则0x1，即0b1；令h(x)log2x10，可知x2，即c2.显然ab2或1或a.答案C8.已知函数f(x)若函数yf(x)k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(2，2) B.(2，1)C.(0，2) D.(1，3)解析当x0时，f(x)x33x，则f(x)3x23，令f(x)0，所以x1(舍去正根)，故f(x)在(，1)上单调递增，在(1，0)上单调递减，又f(x)ln(x1)在0，)上单调递增，则函数f(x)的图象如图所示.当x0时，f(x)极大值f(1)2，且f(0)0，故当k(0，2)时，yf(x)k有三个不同的零点.答案C二、填空题9.已知函数f(
17、x)a的零点为1，则实数a的值为_.解析依题意，f(1)a0，a.答案10.(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数是_.解析由题意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x，均满足题意，所以函数f(x)在0，的零点个数为3.答案311.(2020济南质检)若x1是方程xex1的解，x2是方程xln x1的解，则x1x2等于_.解析x1，x2分别是函数yex，函数yln x与函数y的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于yx对称，因此x1x21.答案112.函数f(x)(aR)，当0x1时，f(x)1x，则f(x)的零点个数为_.解
18、析当x0时，必存在x0ea0，使得f(x0)0，因此对任意实数a，f(x)在(，0)内必有一个零点；当x0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0x0)的最小值为8，则实数a所在的区间是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) 0D.(9，10)解析由于f(x)在0，)上是增函数，在(，0)上是减函数，f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8，a0.则g(5)log2530，又g(a)在(0，)上是增函数，实数a所在的区间为(5，6).答案A14.(2019天津卷)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A. B
19、.C.1 D.1解析画出函数yf(x)的图象，如图.方程f(x)xa的解的个数，即为函数yf(x)的图象与直线l：yxa的公共点的个数.当直线l经过点A时，有21a，a；当直线l经过点B时，有11a，a；由图可知，a时，函数yf(x)的图象与l恰有两个交点.另外，当直线l与曲线y，x1相切时，恰有两个公共点，此时a0.联立得xa，即x2ax10，由a2410，得a1(舍去负根).综上，a1.答案D15.已知函数f(x)exex4，若方程f(x)kx4(k0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3_.解析易知yexex为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得yf(x)的图象.所以yf(x
20、)的图象关于点(0，4)对称，又ykx4过点(0，4)且关于点(0，4)对称.方程f(x)kx4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x1x2x30.答案016.已知函数f(x)若方程f(x)kx2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_.解析由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0，2)的直线ykx2有两个交点，作出yf(x)与ykx2的图象，如图所示.当直线ykx2过点(1，1)时，k3.结合图象知，当k3时，直线与yf(x)图象有两个交点.答案3，)C级创新猜想17.(多填题)(2018浙江卷)已知R，函数f(x)(1)当2时，不等式f(x)0的解集是_.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.解析(1)若2，当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，解得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4).(2)令f(x)0，当x时，x4，当x时，x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，14. 答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，)- 18 - 版权所有高考资源网
