1、模块综合检测1.已知矩阵M,求矩阵M的特征值与特征向量.【解】矩阵M的特征多项式为f()232,令f()0,解得11,22,将11代入二元一次方程组解得x0,所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为;同理,矩阵M属于特征值2的一个特征向量为.2.已知在二阶矩阵M对应变换的作用下,四边形ABCD变成四边形ABCD,其中A(1,1),B(1,1),C(1,1),A(3,3),B(1,1),D(1,1).(1)求出矩阵M;(2)确定点D及点C的坐标. 【导学号:30650064】【解】设M,则有,所以解得所以M.(2)由,得C(3,3).由,得D(1,1).3.设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)
2、对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.求实数a,b的值;求A2的逆矩阵.【解】设曲线2x22xyy21上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x,y).由,得又点P(x,y)在x2y21上,所以x2y21,即a2x2(bxy)21,整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a1,所以由知,A,A2.所以|A2|1,(A2)1.4.(江苏高考)已知矩阵A,矩阵B的逆矩阵B1,求矩阵AB.【解】设B,则B1B,即,故解得所以B.因此,AB.5.曲线x24xy2y21在二阶矩阵M的作用下变换为曲线x22y21.(1)求实数a,b的值;(2)求M的逆矩阵M1.【解】(1)
3、设P(x,y)为曲线x22y21上任意一点,P(x,y)为曲线x24xy2y21上与P对应的点,则,即代入得(xay)22(bxy)21,即得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21,及方程x24xy2y21,从而解得a2,b0.(2)因为M的行列式为10,M1.6.已知矩阵M,向量,求M3的值.【解】矩阵M的特征多项式f()(1)(3)(2)228(2)(4).令f()0,解得14,22.从而求得属于特征值14的一个特征向量为,属于22的一个特征向量为.令mn,则m,n,即,所以M343(2)3.7.如果曲线x24xy3y21在矩阵的作用下变换得到曲线x2y21,求ab.【解】在曲线
4、x24xy3y21上任取一点P(x,y),设点P(x,y)在矩阵的作用下变换得到点P(x,y),则,所以则(xay)2(bxy)21,化简得(1b2)x22(ab)xy(a21)y21,从而解得所以ab2.8.密码学是关于信息编码和解码的理论,其中经常用到矩阵知识,首先建立如下对应关系:ABCYZ 12 32526取矩阵A.(1)将Good进行编码;(2)将93,36,60,21恢复成原来的信息.【解】(1)Good的编码为7,15,15,4.(2)det(A)51321,A1,把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量,可得A1,A1.密码恢复成编码15,6,3,15,即得到原来的信息OFCO
5、.9.已知矩阵M,.(1)求M的特征值和特征向量;(2)计算M4,M10,M100;(3)从第(2)小题的计算中,你发现了什么? 【导学号:30650065】【解】(1)矩阵M的特征多项式f()(1)(2).令f()0,得11,22.属于11的一个特征向量1,属于22的一个特征向量2.(2)令m1n2,则有mn,m2,n1,即212.M4M4(212)2M41M4221221424,同理可得M10,M100.(3)当n时,可近似认为MnMn(212)Mn22n.10.自然界生物种群的成长受到多种因素的影响,如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等.因此,它们和周边环境是一种既相生,又相克的生存关系.但是如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X,Y随时间段变化的数量分别为an,bn,并有关系式其中a11,b17,试分析10个时段后,这两个种群的数量变化趋势.【解】由题意知,令M,则f()(1)(4).令f()0,解得11,24,对应的一个特征向量分别为,.设,则3(2),则M103410(2)110.照此发展下去,两个种群的数量趋于均衡.