1、学科网(北京)股份有限公司2022 年全国高中数学联赛重庆市初赛选拔试题考试时间:80 分钟 一、填空题(每题 8 分,一共 8 题,一共 64 分)1 若不等式yxkyx+5对任意正实数 x,y 都成立,则实数 k 的最小值为_ 2.已知复数 z1,z2,z3,z4 满足424232221=+=+zzzz,且0z4231=+zzz,则=3241zzzz_ 3.已知 x,y,z 均为正实数,且满足2,5lglglglglglg=xyzxyzzyxzyxzyx,则xyz=_ 4.将一枚骰子连续投掷五次,则事件“五次出现的点数既不全相同,也不两两互异,且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”
2、的概率为_ 5.在半径为 1 的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥,再将该圆锥重新融成一个圆柱,则圆柱表面积的最小值为_ 6.若存在实数 a 及正整数 n 使得 f(n)=cos2x-asinx 在()n0,内恰有 2022 个零点,则满足条件的正整数 n 的值有_个 7.已知圆()53x:;222221=+=+yOyxO:在第一象限内的公共点为 A,过点 A的直线分别交圆 O1,O2 于 C,D 两点(C,D 异于点 A),且ADAC2=,则直线 CD 的斜率为_ 8.已知 a1,()*212+=+naann,n 是正整数,若数列an有上界,即存在常数 M,使得Man 对*Nn恒成立,则实数 y
3、 的最大值为_ 二、解答题(第 9 题 16 分,第 10,11 题各 20 分)9.已知 a,b,c 分别为 ABC的三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且()2cos2cos2sin2sin2CBAcBACb=+,若 D 为 BC 的中点,求 AD 长的最小值 学科网(北京)股份有限公司10 已知函数 f:RR,若对任意实数 x,y,z 都有()()()()9131f31+yzfxfxzxy,求()=1001iiif其中x代表不超过 x 的最大整数 11 设 F 是双曲线:22:1xy 的左焦点,经过 F 的直线与 相交于 M,N 两点(1)若 M,N 都在双曲线的左支上,求 OMN面积的最小值;(2)是否存在 x 轴上一点 P,使得 PM PN 为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司