1、2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第2课时 不等式的证明 第二章 等式与不等式 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题(重点、难点)2了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点，掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题(难点、易错点)1通过综合法、分析法的证明，提升逻辑推理能力2通过反证法的学习，提升数学抽象、逻辑推理能力.情境导学探新知 NO.1知识点一 综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法综合法最重要的推理形式为 ，其中 p 是已知或
2、者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找pq必然成立的结论知识点二 分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止分析法最重要的推理形式为_，其中 p 是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件知识点三 反证法 首先假设成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立这种得到数学结论的方法通常称为反证法结论的否定1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是从结论向已知的逆推证法()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程分析法的推理过程实际上是寻求使结论
3、成立的充分条件的过程()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()答案(1)(2)(3)(4)2.将下面用分析法证明a2b22ab 的步骤补充完整：要证a2b22ab，只需证 a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立 a2b22ab0(ab)20(ab)20 用分析法证明a2b22ab 的步骤为：要证a2b22ab 成立，只需证 a2b22ab，也就是证 a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20 显然成立，所以原不等式成立合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 综合法的应用 综
4、合法证明不等式的基本思路是什么？提示 从已知条件出发，综合利用各种结果，经逐步推导，最后得出结论【例 1】若 ab0，cd0，e0，求证：eac2ebd2.思路点拨 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果 证明 cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以1ac2bd2，得1ac21bd2.又 e0，eac2ebd2.本例条件不变的情况下，求证：eac ebd.证明 cd0，cd0.ab0，acbd0，0 1ac 1bd.又e0，eac ebd.综合法证明不等式综合法证明不等式就是从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列
5、的推理、论证而得出命题成立，它是顺推的证法或由因导果跟进训练1若 bcad0，bd0，求证：abb cdd.证明 bcad0，adbc，bd0，abcd，ab1cd1，abb cdd.类型 2 分析法的应用【例 2】已知 a0，证明：a2 1a2 2a1a2.证明 要证a2 1a2 2a1a2，只需证a2 1a2a1a(2 2)因为 a0，所以a1a(2 2)a12a 20，所以只需证a2 1a22a1a 2 2 2，即 2(2 2)a1a 84 2，只需证 a1a2.因为 a0，所以 a1a2a22a1aa12a0，所以 a1a2 显然成立(当 a1 时等号成立)，所以要证的不等式成立 分析
6、法证明不等式分析法证明命题时，就是从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，这是一种执果索因的思考和证明方法跟进训练2若 a，b(1，)，证明：ab 1ab.证明 要证 ab 1ab，只需证(ab)2(1ab)2，只需证 ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为 a1，b1，所以 a10,1b0，即(a1)(1b)0 成立，所以原不等式成立 类型 3 反证法的应用【例 3】已知 xR，ax212，b2x，cx2x1，试证明 a，b，c 至少有一个不小于 1证明 假设 a，b，c 均小于 1，即 a1，b1，c1，则有 abc3，而 abcx21
7、2(2x)(x2x1)2x22x722x12233.这与 abc3 矛盾，假设不成立，故 a，b，c 至少有一个不小于 1 反证法证明问题的一般步骤跟进训练3若 x0，y0，且 xy2，求证：1yx 与1xy 至少有一个小于 2.证明 假设1yx 与1xy 都不小于 2，即1yx 2，1xy 2.x0，y0，1y2x,1x2y，两式相加得 2(xy)2(xy)xy2，这与已知中 xy2 矛盾 假设不成立，原命题成立 故1yx 与1xy 至少有一个小于 2.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是()A自然数 a
8、，b，c 中至少有两个偶数B自然数 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数C自然数 a，b，c 都是奇数D自然数 a，b，c 都是偶数1 3 5 2 4 B 反证法证明命题时，反设是设结论的反面成立，即否定结论，故 B 正确2 1 3 4 5 2求证：71 11 5.证明：要证 71 11 5，只需证 7 5 111，即证 72 755112 111，即证 35 11，3511，原不等式成立以上证明应用了()A分析法B综合法C分析法与综合法配合使用D反证法A 证明过程用的是分析法3 1 2 4 5 3(多选题)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()A结论的反设 B已知条
9、件C定义、公理、定理等D原结论ABC 反证法推矛盾的过程中，可以把结论的反设，已知条件，定义、定理、公理等作为已知条件使用，故选 ABC4 1 2 3 5 4(多选题)下列命题中，不正确的是()A若 ab0，则 1ab1aB若 acbc，则 abC若ac2bc2，则 abD若 ab，cd，则 acbdABD 由不等式的性质可知选项 ABD 不正确2 4 5 1 3 5甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是_答案 甲回顾本节知识，自我完成以下问题：证明不等式的常用方法有哪些？提示 证明不等式常用的方法有：作差商比较法、综合法、分析法、反证法.点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
