1、上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分:函数与导数一、选择题：16(上海市十三校2011年高三第二次联考理科) “函数在上为单调函数”是“函数在上有最大值和最小值”的（ A ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件18(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)设函数、的零点分别为，则答（ D ）(A) . (B) . (C) . (D) .16. (上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知是上的增函数，那么a的取值范围是 ( D ) (A) (1，+)； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) ，3）18.
2、 (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有 （B）AB C D 二、填空题：1(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)函数的定义域是 3(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知函数是函数的反函数，则 (要求写明自变量的取值范围)8(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知，是方程的根，则= 1 1(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)函数的定义域是 3(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知函数是函数的反函数，则 (要求写明自变量的取值范围)1(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)函
3、数的定义域是_ 9(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 12、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)关于的方程（）有唯一的实数根，则 3 14、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 1 6. (上海市五校2011年联合教学调研理科设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 。13. (上海市五校2011年联合教学调研理科设表示不超过的最大整数，如，若函数，则的值域为 。-1,0 2(上海市
4、十三校2011年高三第二次联考理科)已知函数的定义域为，则此函数的值域为。11(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差为 3 。12(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)已知为常数，且，指数函数和对数函数的图象分别为与，点在曲线上，线段（为坐标原点）与曲线的另一个交点为，若曲线上存在一点，且点的横坐标与点的纵坐标相等，点的纵坐标是点的横坐标2倍，则点的坐标为。14(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：函数的图象是中心对城图形；对任意实数，均成立；函数的图象与轴有
5、无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；函数的图象与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点。其中所有正确结论的序号是 。1、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)函数的定义域是 2(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)若函数与的图像关于直线对称，则 . 【】11. (上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知函数，若且，则的取值范围是 . 【】14. (上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知函数满足：对任意，恒有成立；当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 . 【，】1、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)函
6、数的反函数 。 3、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)函数的零点所在的区间为，则 2 。13、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是 。2. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)函数的反函数为三、解答题：22(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科) (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分 已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；(3)当(，a是底数)时，函
7、数值组成的集合为，求实数的值22(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分解 (1) 是奇函数，对任意，有，即2分化简此式，得又此方程有无穷多解(D是区间)，必有，解得 4分 5分(2) 当时，函数上是单调减函数理由：令易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，6分 故在上是随增大而减小 8分 于是，当时，函数上是单调减函数 10分(3) ， 11分依据(2)的道理，当时，函数上是增函数， 12分即，解得 14分 若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)必有 16分 因此，所求实数
8、的值是22(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分 已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分解 (1) 是奇函数，对任意，有，即 2分化简此式，得又此方程有无穷多解(D是区间)，必有，解得 4分 5分(2) 当时，函数上是单调增函数理
9、由：令易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，7分 故在上是随增大而减小 9分 于是，当时，函数上是单调增函数 12分(3) ， 13分由(2)知，函数上是增函数，即 ，解得 16分 若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1) 必有 18分 因此，所求实数的值是23、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)（本题满分18分）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是则称是该函数的“和谐区间”（1）求证：函数不存在“和谐区间”（2）已知：函数（）有“和谐区间”
10、，当变化时，求出的最大值（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）23、（18分）（1）设是已知函数定义域的子集，或，故函数在上单调递增若是已知函数的“和谐区间”，则4分故、是方程的同号的相异实数根无实数根，函数不存在“和谐区间”6分（2）设是已知函数定义域的子集，或，故函数在上单调递增若是已知函数的“和谐区间”，则10分故、是方程，即的同号的相异实数根，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，当时，取最大值14分（3）如：和谐区间为、，当的区间； 和谐区间为； 和谐区间为；1
11、8分阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分如举及形如的函数不给分学校_ 班级_ 学号_ 姓名_ 密封线20. (上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表；月数1234污染度6031130污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，其中表示月数，分别表示污染度.（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超
12、过？20.解：（1） （3分） （6分）由此可得更接近实际值，所以用模拟比较合理. （7分）（2）因在上是增函数，又因为 （12分）故整治后有16个月的污染度不超过60. （14分）22. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分16分）第22题图（理）已知函数.（1）试判断的奇偶性并给予证明；（2）求证：在区间单调递减；（3）右图给出的是与函数相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0.请说明你的理由.22.（本题满分16分）解：（1）由得，则，任取，都有，则该函数为奇函数.（2）任取，则有，.又，所以，即，故函数在区间上单调递减
13、.（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列要满足条件，则必有。由（1）知函数是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，所以要构造满足条件的等差数列，可利用等差数列的性质，只需等差数列满足：且即可.我们可以先确定使得，因为公差不为零的等差数列必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在中，即可满足要求. 所以只要对应的点尽可能的接近原点.如取，存在满足条件的一个等差数列可以是. 【说明】本问题结论开放. 我们可以将问题解决的方法一般化.设，若，可得.而由题意，需（）.同理，若，则需.19、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料
14、的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为（1）、建立与的函数关系式，并写出的取值范围；（6分）（2）、圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到0. 01m3) （6分）SAOB19、解：（1） 4分 6分（2）依题意，作圆锥的高，是母线与底面所成的线面角， 7分设圆锥高， ， 9分 11分 答：所制作的圆锥形容器容积立方米 12分 20、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)设函数.（1）、（理）当时，用函数单调性定义求的单调递减区间（6分）（文）当，解不等式 （6分）（2）、若连续掷两次骰子(骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数
15、分别作为和，求恒成立的概率； （8分）20、解：（1）（理）根据耐克函数的性质，的单调区间是 2分所以的单调区间是 6分 （文）（1） 3分 6分（2） 8分 10分基本事件总数为，当时，b=1； 当时，b=1, 2,； 当时，b=1, 2,3； 目标事件个数为1+8+3=12. 因此所求概率为. 14分19(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科) (本题满分12分)如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮 制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm3）19(本题满分12分)解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分
16、别为h、r，则由题意得R=，由得；2分由得；5分由得；8分由所以该容器最多盛水1047.2 cm3 12分（说明：用3.14得1046.7毫升不扣分）22、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)（本题满分16分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分。已知函数。（1）当时，画出函数的大致图像，并写出其单调递增区间；（2）若函数在上是单调递减函数，求实数的取值范围；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围22解：（1）时，的图象如图，图象画出，-3分单调递增区间为。-6分（2）解一：设，当在上单调递减时，对都成立，-8分即，对都成立，-10分所以-11分解二：数
17、形结合方法：时，-8分若函数在上是单调递减函数，则 -10分所以 -11分（3）当时，成立，所以； -12分当时，即，只要； -13分设，在上递减，在上递增，当时，；-14分所以 -15分综上， 对恒成立的实数的取值范围是。-16分23(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数是单调函数，且其值域为区
18、间I试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）23解：（1）对任意的，有， 当且仅当时，有， 故存在唯一，满足， 2分所以1是函数的“均值” 4分(另法：对任意的，有，令，则，且， 若，且，则有，可得，故存在唯一，满足， 2分所以1是函数的“均值” 4分）（2）当时，存在“均值”，且“均值”为；5分当时，由存在均值，可知对任意的，都有唯一的与之对应，从而有单调，故有或，解得或或， 9分综上，a的取值范围是或 10分（另法：分四种情形进行讨论）（3）当I 或时，函数存在唯一的“均值”这时函数的“均值”为； 12分当I为时，函数存在无数多个“均值
19、”这时任意实数均为函数的“均值”； 14分当I 或或或或或时，函数不存在“均值” 16分评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”这时函数的“均值”为； 13分当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”； 16分当且仅当I形如、其中之一时，函数不存在“均值” 18分（另法：当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数； 13分当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”； 16分当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值” 18分）评分说明：在情形与中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分
