1、2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等式及其性质 第二章 等式与不等式 学 习 任 务核 心 素 养 1会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(一般)2会用比较法比较两实数的大小(重点)3掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.1 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养2.通过大小比较，培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1清丽、优美的芭蕾舞剧睡美人序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着舞裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境她为什么要踮起脚尖呢？
2、因为一般的人，下半身长 x 与全身长 y 的比值xy在 0.570.6 之间设人的脚尖立起提高了 m，则下半身长与全身长度的比由xy变成了xmym，这个比值非常接近黄金分割值 0.618.这便是不等式在实际生活中的应用，不等式还有哪些重要的性质呢？知识点一 不等关系与不等式 1不等式的定义我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些的式子，称为不等式不等号2比较两个实数(代数式)的大小作差法的理论依据：ab0；ab0；ab0.ababab1(1)已知 ta4b，sab24，则 t 和 s 的大小关系是()Ats Bts Cts Dts(2)设 a，b
3、0，P a b，Q ab，则 P 与 Q 的大小关系是()APQ BPQ CPQ DPQ(1)D(2)C(1)stab24(a4b)b24b4(b2)20，ts.(2)P2(a b)2ab2 ab，Q2(ab)2ab.a，b0，P2Q2.PQ.知识点二 不等式的性质 1不等式的性质(1)性质 1(可加性)：ab.(2)性质 2(可乘性)：ab，c0.acbcacbc(3)性质 3(可乘性)：ab，c0.(4)性质 4(传递法)：ab，bc.(5)性质 5(对称性)：ab.baacbcac2不等式性质的推论(1)推论 1(移项法则)：abc.(2)推论 2(同向可加性)：ab，cd.acbdac
4、b(3)推论 3(同向同正可乘性)：ab0，cd0.(4)推论 4(正数乘方性)：ab0(nN，n1)(5)推论 5(正数开方性)：ab0 .a bacbdanbn利用不等式性质应注意哪些问题？提示 在使用不等式时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c 的符号”等都需要注意 2.已知 ab，可以推出()A1a1bBac2bc2 Cac2bc2D(ac)2(bc)2 B c20，ab，ac2bc2.3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 ab，cd，则 acbd.()(2)若 ab，则
5、1a1b.()(3)若 ab0，cd0，则adbc.()(4)已知 ab，ef，c0，则 facebc.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)因为 cd，所以cd，又 ab.所以 acbd.(2)因为 ab，若 a0，b0，则1a1b，故1a1b错误(3)因为 cd0，所以1d1c0，又因为 ab0，所以adbc.(4)因为 ab，c0，所以 acbc，故acbc，又因为 ef，即 fe，所以 facebc.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 比较两数(式)的大小【例 1】(对接教材 P60 例 1)已知 x1，比较 3x3 与 3x2x1的大小解 3x3(3x2x1
6、)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)x1，x10，而 3x210，(3x21)(x1)0，3x33x2x1把本例中“x1”改为“xR”，再比较 3x3 与 3x2x1 的大小解 3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)(3x21)(x1)3x210，当 x1 时，x10，3x33x2x1；当 x1 时，x10，3x33x2x1；当 x1 时，x10，3x33x2x1作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤类型 2 利用不等式性质判断命题真假【例 2】对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题是()A若 ab，则 ac2bc2B若 ab0，则1a1bC若 ab
7、0，则baabD若 ab，1a1b，则 a0，b0思路点拨 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断 D 法一：c20，c0 时，有 ac2bc2，故 A 为假命题；由 ab0，有 ab0 aab bab1b1a，故 B 为假命题；abba0，1a1b1a1b0baab 0 ab0.ab，a0 且 b0，故 D 为真命题 ab0ab01b1a0abba，故 C 为假命题；法二：特殊值排除法 取 c0，则 ac2bc2，故 A 错；取 a2，b1，则1a12，1b1有1a1b，故 B 错；取 a2，b1，则ba12，ab2，有baab，故 C 错故选 D运用不等式的性质
8、判断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算跟进训练1下列命题正确的是()A若 a2b2，则 abB若1a1b，则 abC若 acbc，则 abD若 a b，则 abD A 错，例如(3)222；B 错，例如12 13；C 错，例如当 c2，a3，b2 时，有 acbc，但 ab.故选 D2若 a，bR，则使 ab 与1a1b同时成立的条件是_ab0 或 0ab 由1a1b得1a1b0，即baab 0，又
9、 ab，故 ba0，由得 ba0，ab0，所以 ab0 或 0ab.类型 3 不等式性质的应用 1由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？提示 不正确因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质2你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.这怎么与2ab2 矛盾了呢？提示 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将2ab4 与2ab2 两边相加得 0a3，又将4ba2 与2ab2 两边相加得出3b0
10、，又将该式与 0a3 两边相加得出3ab3，多次使用了这种转化，导致了 ab 范围的扩大【例 3】已知 1a4,2b8，试求 ab 与ab的取值范围思路点拨 依据不等式的性质，找到b 与1b的范围，进而求出ab 与ab的取值范围 解 因为 1a4,2b8，所以8b2，所以 18ab42，即7ab2.又因为181b12，所以18ab422，即18ab2.求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.跟进训练3已知22，求2，2 的取值范围解 22，424，424，两式相加，得22 2.又424，424，22 2，又
11、知，2 0.故22 0.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1设 M(a1)(a3)，N2a(a2)，则()AMN BMN CMN DMNC NM2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)a22a3(a1)220，即 MN，故选 C2 1 3 4 5 2如果 ab0，cd0，则下列不等式中不正确的是()AadbcBadbcCadbcDacbd2 1 3 4 5 C 由已知及不等式的性质可得 acbd，即 adbc，所以 A 正确；由 cd0，得1d1c0，又 ab0，所以adbc，adbc，即B 正确；显然 D 正确，因此不正确的选项是 C3 1 2 4 5 3若11，则下列
12、各式中恒成立的是()A20B21C10 D11A 由11，11，得11 22，但，故知20.故选 A4 1 2 3 5 4(多选题)已知 a，b，c 为非零实数，且 ab0，则下列结论正确的有()AacbcBabCa2b2D 1ab2 1ba24 1 2 3 5 ABD 因为 ab0，所以 ab.根据不等式的性质可知 A，B正确；因为 a，b 的符号不确定，所以 C 不正确；1ab2 1ba2aba2b2 0.可得 1ab2 1ba2，所以 D 正确2 4 5 1 3 5已知 60 x84,28y33，则 xy 的取值范围是_，xy的取值范围是_2 4 5 1 3(27,56)2011，3 由
13、 28y33 得33y28，1331y 128，则 6033xy8428，即 27xy56，则6033xy8428，即2011xy3.回顾本节知识，自我完成下列问题：1作差比较法的四个步骤是什么？提示(1)作差：对要比较大小的两个式子作差(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号(4)作出结论 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键 2利用不等式的性质判断正误有哪 2 种方法？提示(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例
14、即可(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性数学阅读拓视野 NO.4实际问题中的不等关系糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(
15、3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了提示(1)设糖水 b 克，含糖 a 克，糖水浓度为ab，加入 m 克糖，即证明不等式ambmab(其中 a，b，m 为正实数，且 ba)成立 不妨用作差比较法，证明如下：ambmabbamabmbbmmbabbm.a，b，m 为正实数，且 ab，bm0，ba0，mbabbm0，即ambmab.(2)设原糖水 b 克，含糖 a 克，糖水浓度为ab；另一份糖水 d 克，含糖 c 克，糖水浓度为cd，且abcd，求证：abacbdcd(其中 ba0，dc0)证明：abcd，且 ba0，dc0，adbc，即 bcad0，abacbdabadabbcbbdadbcbb
16、d0，即abacbd，cdacbdcbcdadcddbdcbaddbd0，即acbdcd.abacbdcd.(3)设原糖水 b 克，含糖 a 克，糖水浓度为ab，加入 m 克水，求证：ababm(其中 ba0，m0)证明：ababmabamabbbmambbm0，ababm.结论(1)如果一个分式ab(ba0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于 10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？解 设窗户面积为 a m2，地板面积为 b m2，增加的面积为 n m2，显然，a，b，n 均为正实数，且 ab，由题设及“糖水浓度不等式”可得：10100abanbn.故住宅的采光条件变好了点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
