1、第4章幂函数、指数函数和对数函数4.5函数模型及其应用4.5.2形形色色的函数模型课后篇巩固提升必备知识基础练1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.2.有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2tB.V=lotC.V
2、=D.V=2t-2答案C解析当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=lo4=-2,选项C中的V=7.5,选项D中的V=24-2=6,故选C.3.(2021福建福州三中高一期末)地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量与里氏5.0级地震所释放的能量的倍数是()A.lg 4.5倍B.4.510倍C.450倍D.104.5倍答案D解析设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为E1和E2,则lg E1=4.8+1.58,lg E2=4.8+1.55,所以lg=lg E1-lg E2=4.5,则=
3、104.5,即E1=104.5E2.故选D.4.(2021福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2 000ln1+.若火箭的最大速度为9 240 km/s,则()(参考数值:e4.62101)A.B.C.10D.100答案D解析由题意,火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的关系是v=2 000ln1+,可得v=2 000ln1+=9 240,即ln1+=4.62,所以1+=e4.62101,可得=100.故选D.5.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表
4、示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5 h,1个病毒能繁殖个.答案2ln 21 024解析当t=0.5时,y=2,2=,k=2ln 2,y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过h才能开车(结果精确到1 h,参考数据lg 20.30,lg 30.48).答案2解析设经过n h后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)
5、n.根据题意,有0.3(1-25%)n0.2,则有nlg=n(lg 3-2lg 2)lg=lg 2-lg 3,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)0.30-0.48,n,故至少要经过2 h才能开车.7.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400(1+50%)n=40
6、0n,nN+,当y=4 000时,有n=10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,n(0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n6,从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.关键能力提升练8.(2021广西河池高一期末)某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为()A.106吨B.108吨C.110吨D.112吨答案B解析因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100(1+20%)=120(吨).又因为二月份比一月份减产10%,所以二月份的产量为120
7、(1-10%)=108(吨).故选B.9.(2021福建福州高一期末)已知比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为3040分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2 W/m2,声强级为68 dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5 W/m2,声强级为55 dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为()A.10-9 W/m2B.10-8 W/m2C.10-7 W/m2D.10-6 W/m2答案B解析由题意可知解得a=0.1,b=10-12,
8、所以I=10-12100.1L=100.1L-12,所以当L取最大值40时,I取得最大值100.140-12=10-8(W/m2),故选B.10.(多选题)(2021江苏连云港高二期末)已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是()A.2006年底人类知识总量是2aB.2009年底人类知识总量是8aC.2019年底人类知识总量是213aD.2020年底人类知识总量是218a答案BCD解析2006年底人类知识总量为a22=4a,故A错误;2009年
9、底人类知识总量为a222=8a,故B正确;2019年底人类知识总量为8a210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量为213a25=218a,故D正确.故选BCD.11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到
10、正常状态.答案32解析函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),64=27-4m,解得m=.故y=.由,解得t32.故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.12.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度/J1.610193.210194.510196.41019震级/里氏5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg 20.3进行计算)答案解析由记录的部分数据可知当x=1.61019时,
11、y=5.0,当x=3.21019时,y=5.2.所以-,得0.2=alg,0.2=alg 2.所以a=.13.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t0,a0,且a1).有以下叙述:第4个月时,剩留量会低于;每月减少的有害物质量都相等;若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确的叙述是.(填序号)答案解析由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,解得a=.故y=.所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以正确;第一个月的减少量为1-;第二个月的减少量为,显然两者不同,所以错误;由已知,
12、所以,即,所以t1+t2=t3,故正确.14.(2021福建宁德高一期末)为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(xN+)时,水的杂质含量为y.(1)写出y与x的函数关系式;(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg 20.301,lg 30.477)解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,故y=a%,xN+.(2)设至少经过x次过滤才能使矿
13、泉水达到要求,则a%0.002a%,所以,所以lgxlg,即xlglg,所以x5.7,又xN+,所以x6.故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.学科素养创新练15.(2021山东聊城高一期末)测得某水域2020年二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k0,a1)与y=mlog2x+n(m0)可供选择.(1)你认为选择哪个模型更符合实际?并解释理由.(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2?可能用到的数据log2153.9,1.37,66.72解(1)若选择数据(2,45)和(4,80),由解得m=35,n=10,则y=35log2x+10,当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符;由解得a=,k=,则y=x,当x=8时,y=8=115,与实际情况差别比较大,故选函数模型y=35log2x+10.(2)因为35log215+10353.9+10=146.5,35log216+10=150,而146.5148150,所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.8
