1、第五节指数与指数函数最新考纲考情分析核心素养1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算知识梳理1根式的性质(1)()na(a使有意义)(2)当n是奇数时，a；当n是偶数时，|a|2分数指数幂的意义(1)a(a0，m，nN*，且n1)(2
2、)a(a0，m，nN*，且n1)(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数函数的图象和性质函数yax(a0且a1)图象a10a1性质,定义域R值域(0，)单调性单调递增单调递减函数值变化规律当x0时，y1当x0时，0y0时，y1当x1；当x0时，0y1时，指数函数的图象“上升”；当0a1，还是0aan，则mn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修1P56例6改编)若函数f(x)ax(a0且a1)的图象经过
3、，则f(1)()A1B2CD3答案：C3(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()Aya(1p%)x(0xm)Bya(1p%)x(0xm，xN)Cya(1xp%)(0xm)Dya(1xp%)(00且a1时，函数f(x)ax23的图象必过定点_解析：令x20，则x2，此时f(x)132，故函数f(x)ax23的图象必过定点(2，2)答案：(2，2)6若指数函数f(x)(a2)x为减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)(a2)x为减函数，0a21，即2a0，b0)解：原式a1b12ab1.名
4、师点津【例1】(1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()(2)已知f(x)|2x1|，当abf(c)f(b)，则必有()Aa0，b0，c0Ba0，c0C2a2cD12a2c2解析(1)由f(x)1e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D；又当x0时，f(x)0，排除C(2)作出函数f(x)|2x1|的图象如图所示，因为abf(c)f(b)，所以必有a0，0c|2c1|，所以12a2c1，则2a2c1.故选D答案(1)A(2)D名师点津有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象
5、问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断|跟踪训练|1函数yax(a0，a1)的图象可能是()解析：选D函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A项错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1，平移距离大于1，所以C项错误，D项正确故选D2(2019届唐山模拟)当x1，2时，函数yx2与yax(a0且a1)的图象有交点
6、，则a的取值范围是()AB(1，CD解析：选B当a1时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足22a2，即1a；当0a1时，如图所示，需满足12a1，即ay1y3By3y1y2Cy1y2y3Dy1y3y2解析对于y10.90.2，y20.90.4，y31.20.1，y0.9x在R上是减函数，故有1y1y2.y1.2x在R上是增函数，y31.20.11.201，y3y1y2，故选B答案B名师点津比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小命题角度二与指数函数有关的函数值域问题【例3】已
7、知0x2，则y4x32x5的最大值为_解析令t2x，0x2，1t4，又y22x132x5，yt23t5(t3)2，1t4，当t1时，ymax.答案名师点津形如ya2xbaxc(a0且a1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令tax转化为yt2btc的最值问题，注意根据指数函数求t的范围命题角度三探究指数型函数的性质【例4】(1)若函数f(x)a|2x4|(a0且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2B2，)C2，)D(，2(2)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_解析(1)由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即
8、f(x).由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减，故选B(2)令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4答案(1)B(2)(，4名师点津与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用|跟踪训练|3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca解析：选C因为函数y0.6x在R上单调递减，所以
9、b0.61.5a0.60.61，所以baf(x)的x的取值范围是_解析：由题意知，当x0时，f(x)单调递增，故f(x)f(0)0，而x0时，x0，故由f(x22)f(x)，则x22x，且x220，解得x2或x.答案：(，)(2，)【例】设yf(x)在(，1上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)给出函数f(x)2x14x，若对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则()AK的最大值为0BK的最小值为0CK的最大值为1DK的最小值为1解析根据题意可知，对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则f(x)K在x1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可令2xt，则t(0，2，f(t)t2
10、2t(t1)21，可得f(t)的最大值为1，K1，故选D答案D名师点津根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解|跟踪训练|(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A，B两点满足：点A，B都在函数f(x)的图象上；点A，B关于坐标原点对称，则(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，(A，B)与(B，A)可看作同一个“姊妹点对”已知函数f(x)则f(x)的“姊妹点对”有()A0个B1个C2个D3个解析：选C依题意知，“姊妹点对”(A，B)满足：点A，B都在函数f(x)的图象上，且点A，B关于坐标原点对称作出函数yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数y(x0)的图象的交点个数即可当x1时，01，观察图象可得它们有2个交点，即f(x)的“姊妹点对”有2个，故选C
