1、2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 第二章 等式与不等式 学 习 任 务核 心 素 养 1理解且会运用等式的性质(重点)2理解恒等式的概念，会进行恒等变形(难点)3会求方程的解集(重点)1借助等式的性质，培养逻辑推理的素养2通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.情境导学探新知 NO.1有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了 2 和5 可以相等，我这里有一个方程 5x22x2.等式两边同时加上 2，得 5x222x22，即 5x2x，等式两边同时除以 x，得 52，”老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑你认为狐狸的说法正确吗？知识点一 等式的
2、性质 性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立用字母表示为：如果 ab，则对任意的 c，都有 ac.性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立用字母表示为：如果ab，则对任意的不为零的c，都有ac.bcbc1下列各式是否正确？(1)若xaya，则 xy；(2)若 xy，则xayb；(3)若 xaya，则 xy；(4)若 xy，则 axby.(5)若 xmym，则 xy 答案(1)(5)正确，(2)(3)(4)错误 知识点二 恒等式 1恒等式的含义一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等任意实数2常见的代数恒
3、等式(1)(ab)2，(ab)2a22abb2.(2)a2b2(3)a3b3(ab)(a2abb2)，a3b3(ab)(a2abb2)a22abb2(ab)(ab)3十字相乘法(1)给定式子 x2CxD，如果能找到 a 和 b，使得 Dab 且 Cab，则 x2CxD为了方便记忆，已知 C 和D，寻找满足条件的 a 和 b 的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”C(xa)(xb)(2)用“十字相乘法”分解因式：直接利用公式 x2(ab)xab(xa)(xb)进行分解；利用公式 acx2(adbc)xbd(axb)
4、(cxd)进行分解1十字相乘法分解因式的关键是什么？提示 把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)计算(2a5)(2a5)2a225.()(2)因式分解过程为：x23xy4y2(xy)(x4)()(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x2)(x3)6，所以 x23 或 x32.()答案(1)(2)(3)提示(1)(2a5)(2a5)(2a)2254a225.(2)x23xy4y2(xy)(x4y)(3)若(x2)(x3)0，可化为 x20 或 x30.3.(多选题)下列等式中，是恒等式的
5、是()A(x2)(x2)x24 B(ab)2a22abb2 C(3m)(3m)m29 D16x2924x ABC A 中，(x2)(x2)x24，使用平方差公式化简，是恒等式；B 中，(ab)2a22abb2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C 中，(3m)(3m)(m3)(m3)m29，平方差公式化简，是恒等式；D 中，16x2924x 是方程，不是恒等式知识点三 方程的解集 1方程(xx1)(xx2)0，当 x1x2 时解集为，当x1x2 时解集为2方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的的值求方程解的过程叫做解方程把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的x1解集x1，x2未知数2.把方
6、程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根4.已知三角形两边长分别为 4 和 7，第三边的长是方程 x217x660 的根，则第三边的长为_ 6 由方程 x217x660 得：(x6)(x11)0，解得：x6 或 x11，当 x6 时，三边长为 4,6,7，符合题意；当 x11 时，以 4,7,11 为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为 6.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 等式性质的应用【例 1】已知 xy,则下列各式：x3y3；4x6y；2x2y；
7、xy1；x23 y23；xaya.其中正确的有()A B C DC x3y3；2x2y；x23 y23 正确，故选 C等式性质的应用在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件跟进训练1设 x，y，c 是实数，下列正确的是()A若 xy，则 xcycB若 xy，则 xcycC若 xy，则 xc2 yc2D若 x2c y3c，则 2x3yB A两边加不同的数，故 A 不符合题意；B两边都乘以 c，故 B 符合题意；Cc0 时，两边都除以 c2 无意义，故 C 不符合题意；D两边乘 6c，得到 3x2y，故 D 不符合题意
8、故选 B类型 2 恒等式的化简【例 2】化简：(1)(3a2)3(a5)；(2)3x2y2x2y3xy22xy2；(3)2m(mn)2(mn)；(4)(4a2b5ab2)2(3a2b4ab2)解(1)(3a2)3(a5)3a23a1513.(2)3x2y2x2y3xy22xy2x2yxy2.(3)2m(mn)2(mn)2mmn2m2nmn.(4)(4a2b5ab2)2(3a2b4ab2)4a2b5ab2(6a2b8ab2)4a2b5ab26a2b8ab22a2b3ab2.恒等式化简注意事项去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“”号，还是“”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号
9、，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误跟进训练2计算：(1)a23ab5a23ab7;(2)5(mn)4(3m2n)3(2m3n)；(3)3(5xy)(2x4y)2(3x5y)解(1)原式(11)a2(33)ab(57)6ab2.(2)原式5m5n12m8n6m9n(5126)m(589)nm4n.(3)原式15x3y(2x4y6x10y)15x3y(4x14y)15x3y4x14y(154)x(314)y11x17y.类型 3 十字相乘法分解因式【例 3】十字相乘法分解因式：(1)x2x56；(2)x210 x16；(3)6x211
10、x7.解(1)因为 所以：原式(x7)(x8)(2)因为 所以：原式(x2)(x8)(3)因为 所以：原式(2x1)(3x7)如何利用十字相乘法对代数式 ax2bxc 进行因式分解？提示 对于 ax2bxc，将二次项的系数 a 分解成 a1a2，常数项 c 分解成 c1c2，并且把 a1，a2，c1，c2 排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2a2c1，如果它正好等于 ax2bxc的一次项系数b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)跟进训练3将 y25y4 因式分解的结果是()A(y1)(y4)B(y1)(y4)C(y1)(y4)D(y1)(y4)D 因式分解
11、，可得 y25y4(y1)(y4)，故选 D类型 4 方程的解集【例 4】(对接教材 P45 例 2)求下列方程的解集(1)x(x2)2x4；(2)16(x5)29(x4)20.解(1)原方程可变形为 x(x2)2(x2)，即(x2)(x2)0，从而 x20 或 x20，所以 x2 或 x2，方程的解集为2,2(2)利用平方差，将原方程变为4(x5)3(x4)4(x5)3(x4)0，整理可得(7x8)(x32)0，所以 7x80 或 x320，所以x87或 x32，故原方程的解集为87，32.用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤(1)移项，将一元二次方程的右边化为 0.(2)化积，利
12、用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积(3)转化，两个因式分别为 0，转化为两个一元一次方程(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解(5)将其解写成集合的形式跟进训练4若 x2 是关于 x 的一元二次方程 x252axa20 的一个根，则 a 的值为()A1 或 4B1 或4C1 或 4D1 或4B x2 是关于 x 的一元二次方程 x252axa20 的一个根，45aa20，(a1)(a4)0,解得 a1 或 a4.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1(多选题)若 3a2b，下列各式进行的变形中，正确的是()A3a12b1 B3a12b1
13、C9a4bDa2b31 3 5 2 4 ABD A3a2b，3a12b1，正确，符合题意；B3a2b，3a12b1，正确，符合题意；C3a2b，9a6b，故此选项错误，不符合题意；D3a2b，a2b3，正确，符合题意故选 ABD2 1 3 4 5 2(mn)2(mn)的计算结果是()A3n2mB3nmC3nmD3n2mC 原式mn2m2nm3n，故选 C3 1 2 4 5 3下列方程的解正确的是()Ax31 的解集是2B12x2x6 的解集是4 C3x452(x3)的解集是3D13x2 的解集是323 1 2 4 5 B 方程 x31 的解是 x4，12x2x6 的解是 x4,3x452(x3
14、)的解是 x7，13x2 的解是 x6，故选 B4 1 2 3 5 4方程 2x10 的解集是_12 由 2x10，解得 x12，所以方程的解集是12.2 4 5 1 3 5因式分解：(ab)211(ab)28_.(ab4)(ab7)把 ab 看作一个整体 因为 所以：原式(ab4)(ab7)回顾本节知识，自我完成以下问题：1用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？提示(1)将方程右边化为 0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于 0，得两个一元一次方程，再求解提醒：(1)用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；(2)对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式 2因式分解常用的方法有哪些？提示 提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
