1、基础诊断考点突破课堂总结第8讲 曲线与方程基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.方程的曲线与曲线的方程的对应关系，A级要求；2.解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质，A级要求；3.根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是(2)以这个方程的解为坐标的点都是，那么这个方程叫做，这条曲线叫做这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线基础诊断考点突破课堂总结2求动点的轨
2、迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程基础诊断考点突破课堂总结3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题
3、基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()基础诊断考点突破课堂总结2设m1，则关于x，y的方程(1m)x2y2m21表示的曲线是_解析 原方程可化为y2m21 x2m11，m1，m210，m10，表示焦点在 y 轴上的双曲线答案 焦点在y轴上的双曲线基础诊断考点突破课堂总结3(2015焦作模拟)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆
4、的切线，且PA1，则P点的轨迹方程为_解析 由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 2，P 的轨迹方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22 基础诊断考点突破课堂总结4(2015枣庄一模)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长CD3，则顶点A的轨迹方程为_解析 法一 直接法设 A(x，y)，则 Dx2，y2，CDx25 2 y24 3，化简得(x10)2y236，由于 A、B、C 三点构成三角形，A 不能落在 x 轴上，即 y0.基础诊断考点突破课堂总结法二 定义法如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AECD交x轴于E.CD3，AE6，BE10，则E(10,
5、0)顶点A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x10)2y236，又A、B、C三点构成三角形，A点的纵坐标y0，故顶点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)答案(x10)2y236(y0)基础诊断考点突破课堂总结解析 根据垂径定理知：OPPM，P 点轨迹是以 OM为直径的圆在O 内的部分，以 OM 为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与O 的交点为(1，3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0 x1)5已知O方程为x2y24，过M(4,0)的直线与O交于A、B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为_答案(x2)2y24(0 x1)基础诊断考点突破课堂总结考点一 直接法求轨迹方程【
6、例1】(2013陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，O1AO1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点基础诊断考点突破课堂总结O1M x242，又 O1A x42y2，x42y2 x242，化简得 y28x(x0)当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性
7、通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015南通模拟选编)在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 F(1,0)，点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，点 N 为平面内的动点，且满足PM PF0，PM PN0.求动点 N 的轨迹 C 的方程基础诊断考点突破课堂总结解 设点 N(x，y)，M(a,0)，P(0，b)由PM PN 0 可知，点 P 是 MN 的中点，所以ax2 0，0y2 b，即ax，by2，所以点 M(
8、x,0)，P0，y2.所以PM x，y2，PF1，y2.由PM PF0 可得xy240，即 y24x.所以动点 N 的轨迹 C 的方程为 y24x.基础诊断考点突破课堂总结考点二 定义法求轨迹方程 【例2】(2013新课标全国卷改编)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解 由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.基础诊断考点突破课堂总结因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 PMPN(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的
9、定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x24 y231(x2)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2015临汾模拟)在ABC 中，|BC|4，ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且
10、|BD|CD|2 2，求顶点 A 的轨迹方程解 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点基础诊断考点突破课堂总结则 BEBD，CDCF，AEAF.ABAC2 2，点 A 的轨迹为以 B，C 的焦点的双曲线的右支(y0)且 a 2，c2，b 2，轨迹方程为x22 y221(x 2).基础诊断考点突破课堂总结考点三 相关点法求轨迹方程 【例 3】(2012辽宁卷改编)如图，动圆 C1：x2y2t2,1t3，与椭圆 C2：x29y21 相交于 A，B，C，D 四点点 A1，A2 分别为 C2 的左，右顶点求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M的轨迹方程基础诊断考点
11、突破课堂总结解 由椭圆 C2：x29y21，知 A1(3,0)，A2(3,0)过点 A 的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为(x，y)，直线 AA1 的方程为 y y0 x03(x3)直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3)由得 y2 y20 x209(x29)基础诊断考点突破课堂总结又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y201x209.将代入得x29y21(x3，y0)因此点 M 的轨迹方程为x29y21(x3，y0)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)一是本题的轨迹方程中，要求x3，y0，所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发
12、掘二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程(2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x，y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x，y表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2015大连、沈阳联考)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x24y23 1 的左右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为_基础诊断考点突破课堂总结解析 依题意知 F1(1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x，y)
13、，由三角形重心坐标关系可得xx0113，yy03即 x03x，y03y，代入x204 y203 1，得重心 G 的轨迹方程为9x24 3y21(y0)答案 9x24 3y21(y0)基础诊断考点突破课堂总结思想方法求轨迹方程的常用方法1直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了2定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程基础诊断考点突破课堂总结3相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法基础诊断考点突破课堂总结易错防范1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等
