1、知识点一平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_投影_叫做向量a在b方向上的投影，_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积特别提醒：两非零向量a，b，则a与b夹角为_，其范围是_；数量积是一个实数；零向量与任一向量的数量积为零知识点二平面向量数量积的重要性质对于非零向量a，b，(1)eaae_，其中为a与e的夹角；(2)ab_；(3)当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_，aa_，|a|_；(4)cos_，其中为a与b的夹角；(5)|ab|_|a|b|.知识点三平面向
2、量数量积满足的运算律(1)ab_；(2)(a)b_(为实数)；(3)(ab)c_.知识点四平面向量数量积、模、夹角的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)ab_.(2)|a|_或|a|2_.(3)cos_.知识点五向量垂直的充要条件设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0_(b，a为非零向量)知识点六向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)_.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质ab_.
3、(3)求夹角问题，利用夹角公式cos_(为a与b的夹角)知识点七平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是_，它们的分解与合成与向量的_相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)例1(2016年10月学考)设向量a(x2,2)，b(4，y)，c(x，y)，x，yR，若ab，则|c|的最小值是()A.B.C.D.例2(2016年4月学考)已知平面向量a，b满足|a|，be1e2(R)，其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有|ab|，则e1，e2夹角的最小值为()A
4、.B.C.D.例3已知正三角形ABC的边长为1.设a，b，c，那么abbcca的值为_例4已知向量a，b，满足ab2，且|a|1，|b|4，则向量a在向量b方向上的投影为_例5已知向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|4，则|ab|_.例6(2015年10月学考)设a，b为平面向量，若a(1,0)，b(3,4)，则|a|_，ab_.例7(2016年10月学考)在ABC中，AB2，AC3，2，若点P满足2，则_.例8已知平面向量a(2，x)，b(2，y)，c(3，4)，且ac，bc，求a与b的夹角例9在ABC中，点A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为边BC上的高，求与点D的坐标一
5、、选择题1设向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|，则ab等于()A.B.C3D62在ABC中，a，b，ab0，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形3已知向量a，b满足ab(1，3)，ab(3,7)，则ab等于()A12B20C12D204已知|a|1，b(0,2)，ab1，则向量a与b的夹角的大小为()A.B.C.D.5已知向量a，b满足|a|2，a(ba)3，则b在a方向上的投影为()A.BC.D6已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|等于()A1B3C4D57已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于()A4B
6、3C2D18设向量a(1,0)，b(，)，则下列结论正确的是()A|a|b|BabCabD(ab)b二、填空题9已知等边ABC的边长为1，则_.10设单位向量e1，e2的夹角为60，则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值是_11已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.12在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3,1)，(2，k)，则实数k_.答案精析知识条目排查知识点一|a|b|cos|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cosAOB0，知识点二(1)|a|cos(2)ab0(3)|a|b|a|b|a|2(4)(5)知识点三(1)ba(2)(ab)a(
7、b)(3)acbc知识点四(1)x1x2y1y2(2)x2y2(3)知识点五x1x2y1y20知识点六(1)x1y2x2y10(2)ab0x1x2y1y20(3)知识点七(1)矢量加法和减法题型分类示例例1B例2B|ab|，|ab|b|a|，即|b|，|e1e2|2，设e1与e2的夹角为，得e2|e1|e2|cos2e，|e1|e2|1，则2(2cos)0，4cos240，cos，的最小值为.例3解析由题可知a，b之间的夹角为120，b，c之间的夹角为60，a，c之间的夹角为60，所以abbcca11cos12011cos6011cos60.例4解析向量a在向量b方向上的投影为|a|cos.例
8、5解析由已知|ab|4，|ab|242，a22abb216.|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入式，得42ab916，得2ab3.又(ab)2a22abb243910，|ab|.例613解析|a|1，ab13043.例74例8解ac，83x0，解得x.bc，64y0，解得y.a(2，)，b(2，)设a与b的夹角为，且0，180，则cos0，90，即向量a与b的夹角为90.例9解设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，点D在直线BC上，即，共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)得x2y10.又，0，即(x2，y1)(6，3)0，即2xy
9、30.由，得x1，y1，(1,2)，点D(1,1)考点专项训练1B2B由题意知，ab|a|b|cos(180B)|a|b|cosB0，即|a|b|cosB0，B为钝角，ABC为钝角三角形3A(ab)(ab)2a(4,4)，a(2,2)，b(ab)a(1，5)，ab2(1)2512.4C|a|1，b(0,2)，ab1，cosa，b.又a，b0，向量a与b的夹角的大小为.5C6C根据条件，(ab)2a22abb293|b|b|213，解得|b|4或|b|1(舍去)7Bm(1,1)，n(2,2)mn(23,3)，mn(1，1)(mn)(mn)，(mn)(mn)0，(23)30，解得3.8D对于A，向
10、量a(1,0)，b(，)|a|1，|b|，故A错误；对于B，ab10，故B错误；对于C，100，a不平行于b，故C错误；对于D，(ab)b(，)(，)0，(ab)b，故D正确9解析11()11()11().10.解析|3e14e2|29e24e1e216e9241637，|3e14e2|.又(3e14e2)e13e4e1e2345，cos.112解析直接利用平面向量的数量积运算求解|a|b|1，a，b60，cta(1t)b，bctab(1t)b2t1(1t)11t1.bc0，10，t2.124解析如图所示，由于(3,1)，(2，k)，所以(1，k1)，在矩形中，由，得0，所以(3,1)(1，k1)0，即311(k1)0.解得k4.
