1、课时训练31 平面向量的数量积【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.若向量a与b的夹角为60，|b|=4，（a+2b）（a-3b）=-72，则向量a的模为（ ）A.2 B.4 C.6 D.答案：C解析：由已知得a2-ab-6b2=-72.故|a|2-2|a|-24=0，|a|=6或-4（舍）.2.若a=（2，3），b=（-4，7），则a在b方向上的投影为（ ）A. B. C. D.答案：C解析：a在b方向上的射影为.3.已知ab，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与a-b垂直，则等于（ ）A. B.- C. D.1答案：A解析：因ab，故ab=
2、0，又（3a+2b）（a-b）=0.故3a2-2b2=0,=.4.(2010天津和平区一模，4)已知a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，|c|=，则ab+bc+ca的值为（ ）A.7 B. C.-7 D.-答案：D解析：2（ab+bc+ca）=a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）=-（a2+b2+c2）=-（1+4+2）=-7，ab+bc+ca=-72.5.(2010湖南十校联考，3)已知平面上三点A、B、C满足|=3，|=4，|=5，则+的值等于( )A.25 B.24 C.-25 D.-24答案：C解析：由已知得cosA=,cosB=0,cosC=.原式=-|cosB-|cosC-
3、|cosA=0-45-53=-25.6.已知向量a=（2cos,2sin）,b=(3cos,3sin),a与b的夹角为60，则直线xcos-ysin+=0与圆（x-cos）2+(y+sin)2=的位置关系是( )A.相切 B.相交C.相离 D.随、而定答案：C解析：由d=|cos(-)+|,又因为ab=6coscos+6sinsin=|a|b|cos60.故有cos(-)=.d=1.7.已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos,sin）,则向量与向量的夹角的范围为( )A.0, B.,C., D.,答案：D解析：=(x,y),=-=(x-2,y-2),x=2+cos,y=2+si
4、n,=2x,cos=.又（x-2）2+(y-2)2=()2,设y=kx,=.k=2,即（）2最大为（2+）2，最小为（2-）2cos,二、填空题（每小题5分，共15分）8.(2010江苏南京一模，14)若|a|=1，|b|=2，c=a-b，且ca,则向量a与b的夹角为_.答案：解析：ca（a-b）a=0,ab=a2=1,cosa、b=，故a与b夹角为.9.已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+j,且a与b夹角为锐角，则实数取值范围为_.答案：且-2解析：由a与b夹角为锐角有可得.10.已知ABC的面积为，|=3，|=5，0，则|=_.答案：7解析：S=|sinA=sinA=,又
5、0,即A90,故A=120.|2=|-|2=|2+|2-2|cosA=32+52+35=49,|=7.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知向量a=（cosx,sinx）,b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x(0,).(1)向量a、b是否共线？请说明理由；（2）求函数f(x)=|b|-(a+b)c的最大值.解析：（1）a与b共线.因cosx（1-cos2x)-sinxsin2x=cosx2sin2x-2sin2xcosx=0.(2)|b|=2|sinx|,x(0,),sinx0,|b|=2sinx.又（a+b）c=sinx+2sin2x,f(x
6、)=-2sin2x+sinx=-2(sinx-)2+.x(0,),当sinx=时，函数f（x）取得最大值.12.已知a=（cos,sin）,b=(cos,sin)且a，b满足|ka+b|=|a-kb|（k0）.(1)用k表示a，b的数量积；（2）求ab的最小值及此时a，b的夹角.解析：（1）|a|=1,|b|=1,|ka+b|2=3|a-kb|2,k2a2+2kab+b2=3a2+3k2b2-6kab，8kab=2k2+2,ab=.(2)k0,ab=(k+),当k=1时等号成立.此时ab的最小值为，夹角为=.13.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.（1）求证
7、：（a-b）c;(2)若|ka+b+c|1(kR),求k的取值范围.（1）证明：（a-b）c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,(a-b)c.(2)解析：|ka+b+c|1|ka+b+c|21k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.|a|=|b|=|c|=1,且a，b，c夹角均为120，a2=b2=c2=1,ab=bc=ac=-.k2-2k0,k2或k0.14.设a，b是两个不共线的非零向量，tR.(1)若=a，=tb, =(a+b),则当t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若|a|=|b|，且a与b的夹角为60，则t为何值时，|a-tb|的值最小？解析：(1)A、B、C三点共线，=.tb-a=(a+b)-a=b-a =,t=.(2)ab=|a|b|cos60=|a|2,|a-tb|2=|a|2-2t(ab)+t2|b|2=|a|2-t|a|2+t2|a|2=|a|2(t-)2+.当t=时，|a-tb|有最小值|a|.
