1、11352192462.10nnn 已知，则 的值为299.110nnn n 由已知得，解得解析：9 41.12nnnanSan nS 数列的前 项和为，若，则等于4541111+1111111114(1)()()()1223344555naSn nnn 因为，：所解析以11111,2345248163.n数列，的前 项和为111-+122nn n 4.1+22+322+423+n2n-1=_(n-1)2n+15.若数列an的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3，)，则此数列的通项公式为_；数列nan中数值最小的项是第_项an=2n-113解析：当n=1时，a1=S1=-9；当n2时，a
2、n=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2-10(n-1)=2n-11，a1=-9也符合上式，an=2n-11(nN*)由nan=2n2-11n=2(n-)2-知，当n=3时nan为数值最小的项114用公式法求和【例1】已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q是常数)，且x1，x4，x5成等差数列(1)求p，q的值；(2)求数列xn的前n项和Sn.【解析】(1)因为x13，xn2npnq，所以x424p4q16p4q，x525p5q32p5q.因为x1，x4，x5成等差数列，所以2x4x1x5，即32p8q32p5q3，所以q1.又x12pq3，所以p1.23122(2
3、222)(123)2 1 211221 222nnnnnnxnSnn nn n 因为 ，所以 本题考查等差、等比数列的基本知识，主要考查运算能力和推理能力可以直接代入等差、等比数列前n项和公式求和的前提是由已知条件求得首项和公差或公比，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误第(2)问如果先写出x13，x26，x311，x420，再来找规律较难，用拆项分组求和则要好得多【变式练习1】在等比数列an中，a2a518，a3a432，并且an1an(nN*)(1)求a2、a5以及数列an的通项公式；(2)设Tnlga1lga2lga3lgan，求当Tn最大时，n的值 342525522525111
4、4116*118321623216.122132()22()nnnnaaaaaaaaaaaaaqaa qa qqaanN因为，所以由已知条件可得，并且，解得，从而其首项 和公比满足：故数列的通项公【式为 解析】6*222lglg2(6)lg2()lg5lg24lg23lg2(6)lg25432(6)lg2561lg2(11)lg2.221 lg2011256.nnnnnnannaTnnnnnnnnTTn N因为，数列是等差数列，所以 由于，当且仅当最大时，最大，所以，当最大时，或裂项相消法求和 212231.1112()212nnnnnnanSSnana aa aaa已知数列的前 项和为，求证
5、：数列为等差数列；求和：【例】【解析】(1)证明：当n1时，a11；当n2时，anSnSn12n1.显然a11满足an2n1，所以an1an2，所以数列an为等差数列 11223111223 21111()(2)2 23211111 111 11111()()()2 132 352 23211.21nnnnaannnnna aa aaannnn 因为，所以L本题主要考查(1)Sn与an的递推关系；(2)裂项求和法 1122123164642111132.4nnnnnnnaanSbbb SbaabSSS等差数列各项均为正整数，其前项和为，等比数列中，且，数列是公比为的等比数列求 与；证明：【变式
6、练习】13613(1)22113(1).642.*(6)64(6)6461,2,3,6*28.32(1)218.nnnnnnddnndnnnnadbqdandbqbaqqbaqs bd qd qqddqannb设的公差为，的公比为，则 为正整数，依题意有 由 知 为正有理数，故 为 的因子之一，解得 ，故 ，【解析】12235(21)(2)1111111+1 32 43 5211111111(1)232435211113(1+).22124nnSnn nSSSn nnnnn 证明：因为 ，所以 LL错位相减法求和【例3】求S12x3x24x3(n1)xn的值 23231231111210112
7、21123(1)23011234(1)23(1).(1)1(1)1(1)111nnnnnnnnxSnnxSnxxSxxxnxxSxxxn xnxx SxxxxnxxnxxxSx 当 时，；当 时，；当且时，因为 ，所以 由得 ，所以【解析】111nnxx 通过观察，本题有如下特征：系数成等差数列、字母成等比数列，即它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列，具备用错位相减法的条件；同时本题也有陷阱：并没有确定x是否为0或1，故容易贸然地用错位相减法求解，而需先分类讨论在求解过程中还要注意，在等比数列求和时，项数也容易搞错【变式练习3】设an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1a
8、n，已知T11，T24.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列Tn的通项公式 11221121221231231112222.2(1 2(2)22 2222(1)2(2)22 22.(2222)2 1 22(2)1 2nnnnnnnnnnnnnaqaTaTaaqaaTnnnTnnnTnnn 设等比数列的公比为，所以 ，所以 因为 ，所以 由得 【解析】分组分解法求和 23.21()22().4nnnnnnnnnnnanSaanccncnT已知数列的前 项和 求数列的通项公式；是奇数若数列满足，是偶数求数列的前 项和【例】2221*1124113123123(1)3(1)221(2)21()2
9、1()(222)4 1 4246(1)1 4nnnnnnnnnnnSnnnnaSSnnnaSannnnTaaan NN因为，所以 ，又 适合上式，所以 当 为奇数时，为偶数，【解析】224131221111422(1)22(21)223434(21).43()(222)4 1 4(24)1 414242 222(21)(21)22343nnnnnnnnnnnnnnTaaann nnnn 当 为偶数时，分组分解法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解为若干个能够求和的新数列的和或差，从而求得原数列和的一种求和方法如本题将数列分成奇数项的和与偶数项的和，分别应用等差数列和等比数列的求和公式求解
10、 【变式练习4】求值：Sn1234(1)n1n.(12)(34)(1)21(23)(45)(1)11122()21()2nnnnnSnnnSnnnnn nSn当 为偶数时，；当 为奇数时，为偶数所以 为奇数【解析】2122221_._1nnnnanSaaaL数列的前 项和 ，则1(41)3n 111212221221212224.11444(41)3nnnnnnnnnnnnnSaSSaaaa因为 ，所以 ，所以 所【以 】解析 1.0211nnaannnn数列的通项公式为，若其前 项的和为，则 的值为_12012111(2 1)(32)(1)1 110120.nnnannnnSaaannnn因
11、为，所以 ，所以【解析】13121.nnnnnnnanbTba anT若，设，是数列的前 项和，则69nn 1111()21 232 21231 111111()2 355721231 11().2 32369nnbnnnnTnnnnn 因为，析：所解以4.求值：10029929829722212_5050 222222(10099)(9897)(21)1009998972110010015050.2 原式【解析】11010302010122(21)0.12.5.nnnnnaanSSSSanSnT 设正项等比数列的首项 ，前项和为，且求数列的通项公式；求的前 项和 10302020101010
12、2010201010102010112()2().002111.().221122211(1)1221.12212nnnnnnnnnSSSSqSSSSaSSqqaaaqnSnSn由已知得，即因为 ，所以，所以，所以 从而 因为是首项 ，公比 的等比数列，故，【解析】2231211112(12)(),2221121(12)()2222221111(12)()22222211112214212112.222nnnnnnnnnnnnnnnSnnTnTnnnTnnn nnn nnT 则数列的前 项和 前两式相减，得 即 本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上，将两个(或几个)数列复合而成
13、的数列求和，主要从四个方面考查，一是直接用等差、等比数列求和公式来求；二是拆分成等差、等比数列或其他特殊数列来求；三是倒序相加来求；四是两边乘以同一个数后，用错位相减法来求要求在熟记特殊数列求和公式的基础上，观察数列的特征，选择恰当的方法，有时还会要求分类讨论 1一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列一般用错位相减法求和其做法是：在等式两边同乘以等比数列的公比，然后两式相减，右边中间的(n1)项变成等比数列，很容易求和，同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的符号，最后将左边的系数除到右边即可2在求Sx2x23x34x4(n1)xn1这类问题时要注意：(1)对x分类讨论；(2)项数是多少3裂项相消法求和是先将通项(最后一项)分裂成两项(或多项)的差，通过相加过程中，中间的项相互抵消，最后剩下有限项求和4倒序相加求和法的依据是推导等差数列前n项和的方法，即与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(即a1ana2an1)，可采用把正着写的式子与倒过来写的两个式子相加，就得到一个常数列的和 5()(21)()(2)nnnnnababf n nkag n nk分组求和法：有一类数列，本身既不是等差数列，又不是等比数列，但若适当拆分，可以分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并形如：，其中是等差数列，是等比数列；
