1、高考资源网（） 您身边的高考专家第5节椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围a
2、xabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2常用结论与微点提醒1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b|OP|a；(2)ac|PF|ac.3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形，r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF
3、2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中；(1)当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.5.AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m
4、0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材选修21P49T1改编)若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_.解析因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为1.答案13.(老教材选修
5、21P49A6改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，P点坐标为(，1)或(，1).答案(，1)或(，1)4.(2019北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()A.a22b2 B.3a24b2C.a2b D.3a4b解析因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B.答案B5.(2020东北三省四校调研)过点A(3，2)且
6、与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.答案A6.(2019浙江卷)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_.解析设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F，连接OM，MF，则F(2，0)，F(2，0)，|OM|2，|PF|2|OM|4.根据椭圆的定义，得|PF|PF|6，所以|PF|2.又因为|FF|4，所以在RtMFF中，tan MFF，即直线PF的斜率是.答案第一课时椭圆及简单几何性质考点一椭圆
7、的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆(2)(2020河北九校联考)设F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为_.解析(1)连接QA.由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)PF1PF2，PF1F2为直
8、角三角形，又知PF1F2的面积为9，|PF1|PF2|9，得|PF1|PF2|18.在RtPF1F2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2，即4a2364c2，a2c29，即b29.又知b0，b3，又知PF1F2的周长为18，2a2c18，即ac9，又知a2c29，ac1，由得a5，c4，所求的椭圆方程为1.答案(1)A(2)1规律方法1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理
9、、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系.【训练1】 (2019福建四校联考)已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A.2 B.6 C.4 D.2解析由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.答案C考点二椭圆的标准方程【例2】 (1)已知A(1，0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方
10、程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_.解析(1)由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.(2)法一若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为1(ab0).由题意，得解得所以椭圆的标准方程为y21.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为1(ab0).由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.综上所述，椭圆的标准方程为y21或1.法二设椭圆的方程为1(m0，n0，mn)，则由题意，知或解得或所以椭圆的标
11、准方程为y21或1.答案(1)D(2)y21或1规律方法根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(3)椭圆系方程与1共焦点的椭圆系为1(k0).【训练2】 (1)(2020亳州模拟)椭圆E：1(ab0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上两动点P，Q总使PF1QF2为平行四边形，若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2，则椭圆的标准方程可能为(
12、)A.y21 B.1C.1 D.1(2)(2019岳阳调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为_.解析(1)如图，由四边形PF1QF2周长为8，可知4a8，所以a2.当P，Q为短轴端点时，四边形的面积最大，故2bc2，即bc.椭圆方程可以是1.故选C.(2)椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0).P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，又知a2b2c2，解得所求椭圆方程为1.答案(1)C(2)1考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆
13、的长轴、短轴、焦距【例31】 (2019泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A.8 B.7 C.6 D.5解析因为椭圆1的长轴在x轴上，所以解得6mb0)上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为_.解析(1)不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c2，所以a2448，所以a2，所以椭圆C的离心率e.(2)圆M与x轴相切于焦点F，不妨设M(c，y)，又知点M在椭圆上，则有1，解得y，圆M的半径r，若PMQ为等边三角形，则c，即b22ac，又知b2a2c2，(a
14、2c2)2ac，两边同时除以a2，整理得e22e0，又0e1，e，即椭圆C的离心率为.答案(1)C(2)规律方法求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【训练3】 (1)(角度1)(2019武汉模拟)曲线1与曲线1(k9)的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等(2)(角度2)(2020成都质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1
15、 B.C. D.1解析(1)曲线1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线1(kb0)，如图所示，PF1F2为直角三角形，PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c，|PF1|PF2|2c2c2a，椭圆E的离心率e1.故选A.答案(1)D(2)A考点四与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究角度1与椭圆定义有关的最值问题【例41】 (2020深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B，则
16、B(0，1)，如图，连接PB，AB，根据椭圆的定义得|PB|PB|2a4，所以|PB|4|PB|，因此，|PA|PB|PA|(4|PB|)4|PA|PB|4|AB|415，当且仅当点P在AB的延长线上时，等号成立，所以|PA|PB|的最大值为5，故选D.答案D规律方法解决与椭圆定义有关的最值问题，注意应用|PF1|PF2|2a，同时对称和转化思想是解决问题的关键.角度2与椭圆有界性有关的最值(范围)问题【例42】 已知点A(0，2)及椭圆y21上任意一点P，则|PA|的最大值是_.解析设P(x0，y0)，则2x02，1y01，|PA|2x(y02)2.y1，|PA|24(1y)(y02)23y
17、4y083.1y01，而1b0)的两个焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足0.则椭圆离心率e的取值范围为()A. B.C. D.解析法一设点M的坐标为(x0，y0)，0，F1(c，0)，F2(c，0)，(x0c)(x0c)y0，即xyc2.又知点M在椭圆G上，1，由联立结合a2b2c2解得x，由椭圆的性质可得0xa2，即即所以c2b2，又知b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2，解得e2，又知0e1，e1，故选D.法二椭圆G上存在点M使0，MF1MF2，即MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形，|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，(|MF1|MF2|)22(|M
18、F1|2|MF2|2)2|F1F2|28c2，|MF1|MF2|2c，e，当且仅当|MF1|MF2|c时，等号成立，又知0e1，e.故选D.答案D规律方法解决椭圆离心率的最值或范围问题，注意应用椭圆的性质建立不等关系，同时注意椭圆的离心率e(0，1).【训练4】 (1)(角度1)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_.(2)(角度2)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)(3)(角度3)(2019豫南
19、九校联考)已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.解析(1)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|，|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线且P在线段MF2上时取得等号，又|MF2|5，2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.(2)当焦点在x轴上，依题意得0m3，且tan.0m3且m1，则03，且tan，m9，综上，m的取值范围是(0，19，).(3
20、)不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立消去y得(2a21)x26a2x10a2a40，由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值为.答案(1)5(2)A(3)A A级基础巩固一、选择题1.(2019张家口调研)椭圆1的焦点坐标为()A.(3，0) B.(0，3) C.(9，0) D.(0，9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，c3，故焦点坐标为(0，3).答案B2.(2020兰州一中月考)若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A.(3，5) B.(5，3)C.(3，1)(1，5) D.(5，1)(1，3)解析由方程表示
21、椭圆知解得3m8|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，所以a8，c4，b4，故所求的轨迹方程为1.答案D4.(2019湖北重点中学联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为()A. B.1 C. D.解析不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程1中，可得A点纵坐标为，故|AB|3，所以由SCr得内切圆半径r(其中S为ABF1的面积，C为ABF1的周长).答案D5.(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，
22、B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析设椭圆的标准方程为1(ab0).连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.不妨设A(0，b)，由F2(1，0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22，椭圆C的方程为1.答案B二、填空题6.若椭圆1的离心率e，则k的值为_.解析(1)若焦点在x轴上，即k890时，a2k8，b29，e2，解得k4.(2)若焦点在y轴上，即0k8|MF2|，|F1F2|2c28，
23、因为MF1F2是等腰三角形，|MF1|MF2|，且|MF1|MF2|2a12，所以|MF1|6，|MF2|0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1，0)，A2(1，0)，B1，B2.10.(2020福建四地七校调研)已知椭圆E：1(ab0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆
24、(x1)2(y1)25的一条直径，求椭圆E的标准方程.解(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得1，即a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e.(2)由(1)得椭圆E的方程为1，易知直线l的斜率存在，设其方程为yk(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2).(3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20.x1x2，x1x2.又x1x22，k，x1x2，则|AB|2，b2，则a210，椭圆E的标准方程为1.B级能力提升11.(2019德阳诊断)设P为椭圆C：1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且PF1F2的重心为点G，若|PF1|PF2|34，那么
25、GPF1的面积为()A.24 B.12 C.8 D.6解析P为椭圆C：1上一点，|PF1|PF2|34，|PF1|PF2|2a14，|PF1|6，|PF2|8，又|F1F2|2c210，易知PF1F2是直角三角形，SPF1F2|PF1|PF2|24，PF1F2的重心为点G，SPF1F23SGPF1，GPF1的面积为8.答案C12.(2020合肥模拟)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2斜率的取值范围是2，1，则直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析设P(x，y)，由1知A1(2，0)，A2(2，0)，kPA1，kPA2.kPA1kPA2.kPA1
26、.kPA22，1，kPA1.答案A13.(2020石家庄模拟)已知椭圆1，其中，则椭圆形状最圆时的焦距为_.解析因为，所以tan 0，且tan b0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a234a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0e1，e的取值范围是.(2)证明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面积只与短轴长有关.C级创新猜想15.(多选题)如图，记椭圆1，1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中正确的是()A.P到F
27、1(4，0)，F2(4，0)，E1(0，4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值B.曲线C关于直线yx，yx均对称C.曲线C所围区域的面积必小于36D.曲线C的总长度必大于6解析对于A，若点P在椭圆1上，P到F1(4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；对于B，联立两个椭圆的方程得y2x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线yx，yx均对称，故B正确；对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6，故D正确.答案BCD- 23 - 版权所有高考资源网
