1、最新考纲考情分析核心素养1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，与绝对值相关的参数问题是2021年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.2.综合法、分析法、比较法证明不等式是2021年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.1.逻辑推理2.数学
2、运算知识梳理1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解常用结论如果把实数a，b改为向量也成立，即|ab|a|b|，这里|ab|，|a|，|
3、b|均为向量的模，当且仅当a与b方向相同或至少有一个向量为零时等号成立3基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立4比较法(1)比差法的依据是：ab0ab步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号(2)比商法：若B0，欲证AB，只需证1.5综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：
4、从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修45P20T7改编)不等式3|52x|9的解集为()A2，1)4，7)B(2，1(4，7C(2，14，7)D(2，14，7)答案：D3(
5、选修45P20T8改编)不等式|x1|x5|2的解集为_答案：(，4)三、易错自纠4设a，b为满足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b|D|ab|a|b|解析：选Bab|ab|.5若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析：|x1|1，|y2|1，1x11，1y21，|x2y1|(x1)2(y2)2|1225.答案：56若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2，4【例1】(2019年全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时
6、，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当1x0，所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，所以，a的取值范围是1，)名师点津解绝对值不等式的常用方法基本性质法对aR，|x|aaxaxa平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中
7、作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解|跟踪训练|1(2020届贵阳摸底)设函数f(x)|x1|x5|，xR.(1)求不等式f(x)10的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)a(x7)2在R上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)由题意得f(x)当x1时，由2x410得3x1；当1x5时，f(x)610恒成立，则1x5；当x5时，由2x410得5x7.综上可得，不等式f(x)10的解集为x|3x7 (2)设g(x)a(x7)2，则g(x)的图象是以x7为对称轴的抛物线，如图所示，在同一坐标系中作出f(x)的图象“关于x的不等式f(x)a(x7)2在R上恒成立”等价于2x4a(x
8、7)2在(5，)上恒成立，即ax212x45在(5，)上恒成立，令(x)x212x45(x6)29，当x6时，(x)min9，经检验，y2x4恰为ya(x7)2在(6，8)处的切线，a9.不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)用比较法证明不等式；(2)用综合法证明不等式；(3)用分析法证明不等式命题角度一用比较法证明不等式【例2】设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明a，b是非负实数，a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，所以()()5()50；当ab时，从而()50.故a3b3(a2b2)名师点津作差比较法证明不等式的步
9、骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与1的大小命题角度二用综合法证明不等式【例3】(2019年全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca，所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333
10、(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24，所以(ab)3(bc)3(ca)324.名师点津1综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；.命题角度三用分析法证明不等式【例4】已知函数f(x)|x1|.(1)求不
11、等式f(x)f(a)f(b)解(1)由题意，知|x1|2x1|1，当x1时，不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，不等式可化为x12x2，即x1，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x11.综上，Mx|x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立名师点津1分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且
12、和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式(，a0，b0)没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2用分析法求证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有只需证明命题B2为真，从而有只需证明命题A为真，而已知A为真，故B为真|跟踪训练|2(2020届石家庄摸底)(1)已知a，b，c均为正实数，abc1，证明：9；(2)已知a，b，c均为正实数，abc1，证明：.证明：(1)111322239，当且仅当abc时等号成立(2)因为，又abc1，所以c，b，a，所以，当且仅当abc时等号成立【例
13、5】(2020届湖北部分重点中学联考)已知a，b都是实数，a0，f(x)|x1|x2|.(1)求使得f(x)2成立的x的取值集合M；(2)求证：当xRM时，|ab|ab|a|f(x)对满足条件的所有a，b都成立解(1)由题意得f(x)由f(x)2得或解得x或x.所以实数x的取值范围为，即M.(2)证明：因为M，所以当xRM 时，f(x)2，即f(x)max2.因为|ab|ab|a|f(x)，a0，所以f(x)又2，所以|ab|ab|a|f(x)在xRM时恒成立名师点津1研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法2f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.|跟踪训练|3(2019届湘东五校联考)已知函数f(x)m|x1|x1|.(1)当m5时，求不等式f(x)2的解集；(2)若二次函数yx22x3与函数yf(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围解：(1)当m5时，f(x)由f(x)2，得或或解得x.所以不等式的解集为.(2)因为yx22x3(x1)22，所以该函数在x1处取得最小值2.因为f(x)在x1处取得最大值m2，所以要使二次函数yx22x3与函数yf(x)的图象恒有公共点，只需m22，即m4.故实数m的取值范围为m|m4
