1、第三章第三节一、选择题1在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.和RB.R和RC.R和RD以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2(文)(2014山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件D4百万件答案C解析由y3x2270得x3，x0，x3.当0x0，当x3时，y0)令y0得x9
2、，令y9，令y0得0x)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.B.C.D1答案D解析x(2,0)时，x(0,2)，f(x)ln(x)ax，f(x)为奇函数，f(x)ln(x)ax，f (x)a，由f (x)0得x.当0x时，f (x)0，f(x)单调递增，当2x时，f (x)0时，有0的解集是()A(2,0)(2，)B(2,0)(0,2)C(，2)(2，)D(，2)(0,2)答案D解析令F(x)，x0时，F(x)0，F(x)在(0，)上为减函数，又f(x)为奇函数，F(x)F(x)，F(x)为偶函数，F(x)在(，0)上为增函数，f(2)0，F(2)0，F(2)0，在(
3、，2)和(2，)上F(x)0，从而在(，2)和(0,2)上f(x)0，不等式x2f(x0)的解集为(，2)(0,2)6(文)(2014山西大同诊断)设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A(，0)B(0，)C，)D(，答案D解析设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(10；当x(2,4)时，h(x)0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值h
4、7(x0)解析h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，h7(x0)ht(x0)max.记g(t)ht(x0)3tx02t，则g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，将选项代入检验可知选D.二、填空题7若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a
5、1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)0在(0，)内有实数解即1ax22x在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a1.8(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，
6、x2(不合题意，舍去)，高为3.221.2，容积V11.51.21.8，高为1.2m时容积最大9(2015大同市调研)设函数f(x)ax3bx2cx，若1和1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1x2_.答案解析1和1是函数f(x)的两个零点，f(x)ax3bx2cxa(x1)x(x1)，x1，x2是f(x)的两个极值点，x1、x2是方程f (x)0的两个根f (x)a(3x21)，x1x2.三、解答题10(文)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与日产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损
7、2000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值解析(1)y4000x2000(1)x3600xx3.所求的函数关系式是yx33600x(xN*,1x40)(2)由(1)知y36004x2.令y0，解得x30.当1x0；当30x40时，y0.函数yx33600x(xN*,1x40)在1,30上是单调递增函数，在30,40上是单调递减函数当x30时，函数yx33600x(xN*,1x40)取得最大值，最大值为30336003072000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大
8、值为72000元(理)(2015北师大附中期中)某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60n mile/h，甲地至乙地之间的海上航行距离为600n mile，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时1250元(1)请把全程运输成本y(元)表示为速度x(n mile/h)的函数，并指明定义域；(2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解析(1)由题意得：y(12500.5x2)300x，即：y300x(0x60)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x50，或x50(舍去)当0x50时，
9、y0，当50x0，因此，函数y300x，在x50处取得极小值，也是最小值故为使全程运输成本最小，轮船应以50n mile/h的速度行驶.一、解答题11(文)(2015湖北百所重点中学联考)2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可达到150.1x万套，供货商把该产品的供货价格分为两个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量(单位：万套)成反比，比例系数为k，假设不计其他成本，即每套产品销售利润售价供货价格(1)若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；(2)若k10，求销售这套商品总利润的
10、函数f(x)，并求f(x)的最大值解析(1)售价为50元时，销量为150.15010万套，此时每套供货价格为30(元)，则获得的总利润为10(5030)180，解得k20，售价为100元时，销售总利润为：(150.1100)(10030)320(万元)(2)由题意可知每套商品的定价x满足不等式组即0x150，f(x)x(30)(150.1x)0.1x218x460，(0x150)，f (x)0.2x18，令f (x)0可得x90，且当0x90时，f (x)0，当90x150时，f (x)0，当x90时，f(x)取得最大值为350(万元)(理)某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每
11、件商品需向总店交a(1a3)元的管理费，预计当每件商品的售价为x(8x9)元时，一年的销售量为(10x)2万件(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)(销售一件商品获得的利润lx(a4)；(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值M(a)解析(1)由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)(x4a)(10x)2，x8,9(2)L(x)(x4a)(x220x100)(10x)(182a3x)，令L(x)0，得x6a或x10(舍去)1a3，6a8.L(x)在x8,9上单调递减，故L(x)maxL(8)(
12、84a)(108)2164a，即M(a)164a.答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为164a万元12(2014希望高中月考)设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值解析(1)对于C1：yx22x2，有y2x2，对于C2：yx2axb，有y2xa，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，
13、可得ab.(2)由(1)知：ba，aba(a)(a)2.当a时，(ab)最大值.13(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为Vx2h(d2hh3)，0hd.V(d23h2)0，hd.在(0，d)上，函数变化情况如下表：hdV0V极大值由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d.(理)(2014江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形A
14、BCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)(1)求V关于的函数表达式(2)求的值，使体积V最大(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由解析(1)梯形ABCD的面积SABCDsinsincossin，(0，)体积V()10(sincossin)，(0，)(2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1)令V()0，得cos或cos1(舍)(0，)，.当(0，)时，cos0，V()为增函数；当(，)时，0cos，V()x，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)x2lnxx，f(x).
15、当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)f(x)x，即f(x)xx2lnx(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.g(x)有最小值g(1)1.故a11，a的取值范围是(，0)(理)(2014黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)xlnx(x0)(1)试求函数f(x)的单调区间和最值；(2)若g(x)f (x)，直线ykxb与曲线g(x)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)不同的两点，若x0，试证明kg(x0)解析(1)f (x)lnx1
16、，由f (x)0得x，函数f(x)的减区间是(0，增区间是，)，f(x)minf().(2)证明：g(x)f (x)lnx1，令x1x20，k，g(x0)，构造函数F(x)g(x1)g(x2)lnx1lnx2ln，令t，则h(t)lnt(t1)，h(t)0，所以h(t)h(1)0，所以F(x)0，即kg(x0)15(文)(2014邯郸市一模)已知函数f(x)x2(a1)xalnx1.(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；(2)求a的范围，使得f(x)1恒成立解析(1)f(x)x(a1)(x0)，x3是f(x)的极值点，f(3)3(a1)0，解得a3.当a3时，f(x).当x变化时
17、，x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1).(2)要使得f(x)1恒成立，即x0时，x2(a1)xalnx0恒成立设g(x)x2(a1)xalnx，则g(x)x(a1)()当a0时，由g(x)0得单增区间为(1，)g(x)ming(1)a0，得a()当0a1时，由g(x)0得单增区间为(0，a)，(1，)，此时g(1)a0，不合题意()当a1时，f(x)在(0，)上单增，此时g(1)a1时，由g(x)0得单增区间为(0,1)，(a，)，此时g(1)a0，x1，令f(x)1，所以函数f(x)的增区间为(，1)，减区间为(1，)，其极
18、大值为f(1)，无极小值(2)设切点为(x0，f(x0)，则所作切线的斜率kf(x0)，所以直线l的方程为：y(xx0)，注意到点P(0，)在切线l上，所以(x0)，整理得：0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令g(x)，则g(x)，令g(x)0则0x2，令g(x)0则x2，所以，函数g(x)在(，0)，(2，)上单调递减，在(0,2)上单调递增，注意到g(0)0，所以方程g(x)0的解为x2，或xt(1t0)，即过点P(0，)恰好可以作两条与曲线yf(x)相切的直线当x2时，对应的切线斜率k1f(2)，当xt时，对应的切线斜率k2，令h(t)(1t0)，则h(t)0，所以h(t)在(1,0)上为减函数，即1h(0)h(t)h(1)2e,1k22e，所以mk1k2(，)
