1、考纲要求：1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式的向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3)x1x22y1y22x2x32y2y32x1x32y1y32(通常称为平面三角不等式)2会用向量递归方法讨论排序不等式3了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题4会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1nx(x1，x0，n 为大于 1 的正整数)，了解当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立5会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值6了解证明不等式的基本方法：比
2、较法、综合法、分析法、反证法、放缩法1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab0.(2)作商法：abab(a0，b0)2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法ab1推理论证(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立这是一种的思考和证明方法充分条件执果索因3反证法先假设要证的命题，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的，得到和命
3、题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明假设，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地或，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法不成立推理矛盾不正确放大缩小5数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当时命题成立；(2)假设当(kN*，且 kn0)时命题成立，证明时命题也成立综合(1)(2)可知，结论对于任意 nn0，且 n0，nN*都成立6柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当 adbc 时成立nn0
4、nknk1自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时假设为“a，b，c全不为 0”()(2)若实数 x、y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0.()答案：(1)(2)2若 ma2b，nab21，则 m 与 n 的大小关系为_解析：nmab21a2bb22b1(b1)20，nm.答案：nm典题 1(2015新课标全国卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd.证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd，得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.(2)必要性：若|ab|cd|，
5、则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得 a b c d.充分性：若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|c d是|ab|cd|的充要条件作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负设 a，b 是非负实数，求证：a3b3 ab(a2b2)证明：由 a，b 是非负实数，作差得a3b3 ab(a2b2)a2
6、 a(a b)b2 b(b a)(a b)(a)5(b)5)当 ab 时，ab，从而(a)5(b)5，得(a b)(a)5(b)5)0；当 ab 时，a b，从而(a)50.所以 a3b3 ab(a2b2)典题 2 若 a0，b0，且1a1b ab.(1)求 a3b3 的最小值；(2)是否存在 a，b，使得 2a3b6？并说明理由听前试做(1)由 ab1a1b 2ab，得 ab2，当且仅当 ab 2时等号成立故 a3b32 a3b34 2，当且仅当 ab 2时等号成立所以 a3b3 的最小值为 4 2.(2)由(1)知，2a3b2 6 ab4 3.由于 4 36，从而不存在 a，b，使得 2a
7、3b6.综合法证明不等式的技巧综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路已知 a，b，c 均为正数，且 abc1，求证：1a1b1c9.解：1a1b1c(abc)1a1b1c 33 abc331abc9当且仅当 abc13时等号成立典题 3(2015陕西高考)已知关于 x 的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数 a，b 的值；(2)求 at12 bt的最大值听前试做(1)由|xa|b，得baxba，则ba2，ba4，解得a3，b1.(2)3t12 t 3 4t t 3212 4t2 t22 4tt4，当
8、且仅当 4t3 t1，即 t1 时等号成立，故(3t12 t)max4.柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件；(2)求解析式的值利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明已知定义在 R 上的函数 f(x)|x1|x2|的最小值为 a.(1)求 a 的值；(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)
9、的最小值等于 3，即 a3.(2)证明：由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即 p2q2r23.方法技巧证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据易错防范 比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差变形判断差的符号下结论其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号个别题目也可用柯西不等式来证明
