1、选修 45 不等式选讲第一节 绝对值不等式A 级基础过关|固根基|1.已知函数 f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式 f(x)x28x15 的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|3，x2，2x7，2x5，3，x5.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当 x2 时，f(x)x28x15 的解集为空集；当 2x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5 3x5；当 x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5x6综上，不等式 f(x)x28x15 的解集为x|5 3x62(2019 届湖北荆州一模)已知函数 f(x)|xa|，不等式 f(x)3 的解集为6，
2、0(1)求实数 a 的值；(2)若 f(x)f(x5)2m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)由 f(x)3，得|xa|3，所以 a3xa3，又因为 f(x)3 的解集为6，0，所以 a3.(2)因为 f(x)f(x5)|x3|x8|x3(x8)|5，又 f(x)f(x5)2m对一切实数 x 恒成立，所以 2m5，即 m52.3(2019 届太原模拟)已知函数 f(x)|x1|a(aR)(1)若 f(x)的最小值不小于 3，求实数 a 的最大值；(2)若 g(x)f(x)2|xa|a 的最小值为 3，求实数 a 的值解：(1)因为 f(x)minf(1)a，所以a3，解得
3、 a3，即 amax3.(2)g(x)f(x)2|xa|a|x1|2|xa|.当 a1 时，g(x)3|x1|0，03，所以 a1 不符合题意；当 a1 时，g(x)（x1）2（xa），xa，（x1）2（xa），1xa，（x1）2（xa），x1，即 g(x)3x12a，xa，x12a，1xa，3x12a，x1，所以 g(x)ming(a)a13，解得 a4.当 a1 时，同理可知 g(x)ming(a)a13，解得 a2.综上，a2 或4.4(2019 届兰州模拟)已知不等式|2x5|2x1|ax1.(1)当 a1 时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围解：(1
4、)令 f(x)|2x5|2x1|，则 f(x)|2x5|2x1|4x4，x12，6，12x52，4x4，x52，因为 a1，所以当 x12时，由4x4x1，解得 x12；当12x52时，由 6x1，解得12x52；当 x52时，由 4x4x1，解得 x52.综上，所求不等式的解集为 R.(2)由(1)作函数 f(x)的图象，点 A52，6，令 yax1，则其过定点 P(0，1)，如图所示，由不等式|2x5|2x1|ax1 的解集为 R，可得4a6（1）520，即4a145.所以，所求实数 a 的取值范围为4，145.B 级素养提升|练能力|5.(2020 届“四省八校联盟”高三联考)已知函数
5、f(x)|x1|x3|，g(x)xa.(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)对任意 xR，都有 f(x)g(x)0，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)2x2（x3），4（3x1），2x2（x1），则x3，2x26或x1，2x26，解得 x4 或 x2.所以不等式的解集为(，42，)(2)当 x3 时，f(x)g(x)2x2xa0 恒成立，即 3x2a0 恒成立，所以 a7；当3x1 时，f(x)g(x)4xa0 恒成立，即 a4x 恒成立，所以 a3；当 x1 时，f(x)g(x)2x2xa0 恒成立，即 ax2 恒成立，所以 a3.综上，a3，即实数 a 的取值范围为(，36设函数
6、 f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式 f(x)4；(2)若存在 x032，1 使不等式 a1f(x0)成立，求实数 a 的取值范围解：(1)由题意得 f(x)3x2，x32，x4，32x1，3x2，x1.则 f(x)4x32，3x24或32x1，x44或x1，3x24x2 或 0 x1 或 x1.所以不等式 f(x)4 的解集为(，2)(0，)(2)存在 x032，1 使不等式 a1f(x0)成立a1f(x)min，由(1)知，当x32，1 时，f(x)x4，所以 f(x)minf32 52，则 a152，解得 a32，所以实数 a 的取值范围为32，.7(2019 届太原市模拟试题)已
7、知函数 f(x)|xm|2x1|.(1)当 m1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)|2x1|的解集包含34，2，求 m 的取值范围解：(1)当 m1 时，f(x)|x1|2x1|，当 x1 时，f(x)3x22，所以 1x43；当12x1 时，f(x)x2，所以12x1；当 x12时，f(x)23x2，所以 0 x12.综上可得，原不等式 f(x)2 的解集为x0 x43.(2)由题意可知 f(x)|2x1|在34，2 上恒成立，当 x34，2 时，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，则2xm2x，且(2x)max114，(2x
8、)min0，因此 m 的取值范围为114，0.8(2019 届郑州模拟)已知函数 f(x)|3x2|.(1)解不等式 f(x)4|x1|；(2)已知 mn1(m，n0)，若|xa|f(x)1m1n(a0)恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)不等式 f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当 x23时，即3x2x14，解得54x23；当23x1 时，即 3x2x14，解得23x12；当 x1 时，即 3x2x14，无解综上所述，不等式的解集为54，12.(2)1m1n1m1n(mn)11nmmn4.令 g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|2x2a，x23，4x2a，23xa，2x2a，xa.所以当 x23时，g(x)max23a，要使不等式恒成立，只需 g(x)max23a4，即 0a103.故实数 a 的取值范围为0，103.
