1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4页考试时间120分钟满分150分答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置第卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数满足，则的虚部为( )（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】试题分析：由，所以复数的虚部为，故答案选.考点：1.复数的计算；2.复数的定义.2. 已知集合，则
2、是的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】【解析】试题分析：由得集合是空集或者非空集合，当集合是空集时，当集合是非空集合时，或或，此时或，故答案选.考点：1.集合之间的关系；2.命题的充分必要性.3. 设单位向量的夹角为，则 ( )（A） （B） （C） （D）【答案】考点：1.向量的模；2.数量积.4. 已知等差数列满足，则下列选项错误的是( )（A） （B） （C）（D）【答案】【解析】试题分析：因为是等差数列，所以，得，；故答案选.考点：等差数列的性质.5. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为( )（A） （B） （C） （D）【答案】
3、【解析】试题分析：由双曲线，得其顶点坐标，渐近线方程，点到的距离为，由双曲线的性质得双曲线的顶点到其渐近线的距离为，故答案选.考点：双曲线的性质.6. 已知满足约束条件，则的最大值为( )（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】试题分析：如图所示阴影部分为不等式组表示的可行域，由图可知，当直线与圆相切时，取得最大值，所以，由图可知，故答案选.考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.7. 周期为4的奇函数在上的解析式为，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】试题分析：因为函数是周期为4的奇函数，所以，故答案选.考点：1.函数求值；2.函数的周期性和奇偶性.8. 已知是不
4、同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是( )若，则；若，则；若，则；若，则； （A） （B） （C） （D）【答案】【解析】试题分析：如图所示，在正方体中，,平面,平面,但平面与平面相交于，故选项错误；平面平面，平面,平面，,但与不垂直，故选项错误；选项是线面垂直的一个性质定理，故选项是正确的；平面平面，平面，平面，但，故选项错误.故答案选考点：点、线、面的位置关系.9. 在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】考点：解三角形.10. 设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是 ( )（A）在单调递增 （B）在单调递减 （C）在上有极大值 （D）在
5、上有极小值 【答案】【解析】试题分析：所以，又，得，即所以，所以在单调递减故答案选考点：1.导数的应用；2.构造函数.第卷（非选择题 共100分）注意事项：1 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案2 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效在试题卷上答题无效二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为_.【答案】【解析】试题分析：由题知乙型号产品所占比
6、例为，所以该批次产品总数为考点：分层抽样.12. 右面的程序框图输出的的值为_.输出是结束否开始【答案】【解析】试题分析：时，；时，；时，；时，；时,输出.考点：程序框图的识别.13. 已知且，则的最小值为_.【答案】【解析】试题分析： ，当且仅当时，等号成立.考点：基本不等式.14. 若， 则_.【答案】【解析】试题分析：因为是一常数，即可设，所以的原函数所以，即得解得，即考点：1.定积分.15. 函数的零点个数为_.【答案】2【解析】试题分析：令，即则函数和函数的交点个数即为函数的零点个数，如上图所示，与有两个交点，所以函数的零点个数为2.考点：1.函数的零点；2.数形结合.三、解答题:本
7、大题共小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）已知向量，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为.（）求函数的单调增区间；（）若将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）利用向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换得，由函数的图象的两个相邻对称中心的距离为，所以函数的周期为，利用周期公式即可求得，即，令，解之即可求出函数的单调增区间；（）由三角函数图像变换得，因为，即得，根据三角函数的性质得，最后求得函数在的值域. 试题解析：（） ， 由题意知， .
8、 由，解得：, 的单调增区间为. （）由题意，若的图像向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到， ， ， 函数的值域为. 考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像；3.三角函数的值域.17. （本小题满分12分）一汽车4S店新进A,B,C三类轿车,每类轿车的数量如下表:类别ABC数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;（）若一次性提取4辆车，其中A,B,C三种型号的车辆数分别记为，记为的最大值，求的分布列和数学期望.【答案】（）; （）分布列略，.其分布列为234数学期望为 考点：古典概
9、型的分布列及期望.18. （本小题满分12分）已知 是各项都为正数的数列，其前 项和为 ，且为与的等差中项.（）求证：数列为等差数列；（）求数列的通项公式； （）设求的前项和. 【答案】（）证明略；（）；（）.【解析】试题分析：（）由题意知，即，当时，可得;又时,有，得，整理得，是首项为1，公差为1的等差数列. （）由（）可得， 是各项都为正数，（），又,；（）由（）得当为奇数时，当为偶数时，即的前项和. 试题解析：（）由题意知，即， 当时，由式可得; 又时,有，代入式得整理得 是首项为1，公差为1的等差数列. （） 由（）可得， 是各项都为正数， （）， 又, （） 当为奇数时，当为偶数时，
10、的前项和. 考点：1.等差数列的判定；2.通项公式的求法；3.数列求和.19. （本小题满分12分）如图：是直径为的半圆，为圆心，是上一点，且.，且，为的中点，为的中点，为上一点,且.()求证：平面；（）求平面与平面所成二面角的余弦值.OFBCEDRQ【答案】()证明略；（）.【解析】试题分析：() 连接，在面内过做,则,且，又，所以，又,则,所以，因为为的中点，所以，故,且，即得为平行四边形，得 ，即证 平面；（）可证得平面，以为原点，为轴建立如图空间直角坐标系求平面与平面所成二面角的余弦值.试题解析：FRQBCEDOM() 连接，在面内过做为中点，,且 又,为的中点，. ,且 为平行四边形
11、， 又平面, 平面, 平面.（）,又,平面. 以为原点，为轴建立如图空间直角坐标系考点：1.线面平行的判定；2.二面角的求法.20. （本小题满分13分）已知函数.（）若在上单调递减，求实数的取值范围； （）若，求函数的极小值； （）若存在实数使在区间且上有两个不同的极值点，求的最小值.【答案】（）;（）的极小值为;（）3.【解析】试题分析：（）,由题意可得在上恒成立；， 即，求得函数在的最小值即可； （）当时，求得令，解得或（舍），即，当时，当时，的极小值为； （）原题等价于在且上有两个不等的实数根；由题意可知，即在上有两个不等实根，令，在上有两个不等实根，根据二次函数根的分别列出不等式组，
12、即可求出的最小值. 试题解析：（）,由题意可得在上恒成立；， ， 时函数的最小值为， () 当时， 令得，解得或（舍），即 当时，当时，的极小值为 （）原题等价于在且上有两个不等的实数根；由题意可知 即在上有两个不等实根. 令，根据图象可知：，整理得 - 即，解得，的最小值为. 考点：1.导函数的应用；2.函数的极值；3.二次函数根的分布.21. （本小题满分14分）如图，过原点的直线分别与轴，轴成的角，点在上运动，点在上运动，且.（）求动点的轨迹的方程；（）设是轨迹上不同两点，且，（）求的取值范围；()判断的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由. 【答案】（）；（）（） ；()
13、.【解析】试题分析：（）由题意知可得，由得，整理得，所以动点的轨迹的方程；（）（）设所在直线为，当斜率不存在时，则由，又， 当斜率存在时，设方程，联立，得 且由，整理得，又由得，可得；() 由（i）知，斜率不存在时， ， 当斜率存在时，将带入整理得，所以的面积为定值 . 试题解析：（）由题意知 ，由得，整理得 所以动点的轨迹的方程. （）（）设所在直线为，当斜率不存在时，则由，又， 当斜率存在时，设方程，联立，得 且 由整理得 由得，综上：. ()由（i）知，斜率不存在时， ， 当斜率存在时，将带入整理得 所以的面积为定值 . 考点：1.椭圆的标准方程；2.向量在圆锥曲线中的应用；3.圆锥曲线中的定值问题.
