1、1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.能 用 向量 语 言 描 述 直 线 和 平面(难点)2.理解直线的方向向量与平面的法向量(重点)3.会求一个平面的法向量(重点)1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养直观想象和逻辑推理素养.2.通过直线的方向向量和平面法向量的学习，提升数学运算的核心素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3(1)如图所示的四面体 A-BCD 中，怎样借助空间向量来描述 A，B，C 在空间中是不同的点？(2)
2、一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？知识点 1 空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量OP 来表示我们把向量OP 称为点 P 的位置向量1.在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A(1,2,3)的位置向量是_ OA(1,2,3)位置向量OA(1,2,3)(1)如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设ABv.如果只借助v，能不能确定直线 AB 在空间中的位置？(2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？知识点 2 空间直线的向量表示式如图，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取ABa，设 P 是直线
3、 l 上的任意一点，则点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得APta，即APtAB.如图，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP OA ta，或_.OP OA tAB式和式都称为空间直线的向量表示式由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定图 图1.根据空间直线的向量表达式OP OA tAB，线段 AB 的中点 M 的向量表达式是什么？提示 OM OA 12AB.2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)零向量不能作为直线的方向向线()(2)若向量 v 是直线 l 的方向向量，则 v(0)也是直线 l 的方向
4、向量()(3)直线 l 的方向向量都平行，且方向相同()答案(1)(2)(3)一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，如何用向量表示这个平面？知识点 3 空间平面的向量表示式(1)空间平面 ABC 的向量表示式如图，取定空间任意一点 O，空间一点 P位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使 .我们把这个式子称为空间平面 ABC 的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定OP OA xAByAC(2)平面的法向量与平面的向量表示式如图，直线 l，取直线 l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 的法向
5、量给定一个点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合P|aAP02.如果 n 为平面 的一个法向量，A，B 为平面 内的两点，则 n 与AB有什么关系？提示 nAB，即 nAB0.3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面 的所有法向量都平行，且同向()(2)若 n 是平面 的一个法向量，则 n(R)也是平面 的一个法向量()(3)向量 i(1,0,0)是坐标平面 Oyz 的一个法向量()提示(1)法向量也可能方向相反(2)当 0 时，n0，不能作为平面的法向量(3)x 轴垂直于坐标平面 Oyz.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类
6、型 1 直线的方向向量【例 1】(1)已知直线 l 的一个方向向量 m(2，1,3)，且直线 l 过 A(0，y,3)和 B(1,2，z)两点，则 yz 等于()A0 B1 C32 D3(2)在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，棱长为 1，则直线 DD1 的一个方向向量为_，直线 BC1 的一个方向向量为_(1)A(2)(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一)(1)A(0，y,3)和 B(1,2，z)，AB(1,2y，z3)，直线 l 的一个方向向量为 m(2，1,3)，故设ABkm.12k,2yk，z33k.解得 k12，yz32.yz0.(2)DD1AA1，AA1
7、(0,0,1)，直线 DD1 的一个方向向量为(0,0,1)；BC1AD1，AD1(0,1,1)，故直线 BC1 的一个方向向量为(0,1,1)求直线的方向向量的 2 种方法(1)在直线 l 上确定两点 A，B，则AB或BA就是直线 l 的方向向量(2)在与直线 l 平行的直线 m 上确定两点 A1，B1，则A1B1 或B1A1 就是直线 l 的方向向量跟进训练1(1)(多选题)若 M(1,0，1)，N(2,1,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是()A(2,2,6)B(1,1,3)C(3,1,1)D(3,0,1)(2)从点 A(2，1,7)沿向量 a(8,9，12)的方向取线段长
8、|AB|34，则 B 点的坐标为()A(18,17，17)B(14，19,17)C6，72，1D2，112，13(1)AB(2)A(1)M，N 在直线 l 上，MN(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线 l 的一个方向向量(2)设 B 点坐标为(x，y，z)，则ABa(0)，即(x2，y1，z7)(8,9，12)，因为|AB|34，即 642812144234，得 2，所以 x18，y17，z17.类型 2 求平面的法向量【例 2】(对接教材 P28 例题)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点ABAP1，AD
9、3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，P(0,0,1)，E0，32，12，C(1，3，0)，于是AE0，32，12，AC(1，3，0)设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则nAC0，nAE0，即x 3y0，32 y12z0，所以x 3y，z 3y，令 y1，则 xz 3.所以平面 ACE 的一个法向量为 n(3，1，3)本例条件不变，试求直线 PC
10、 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量？解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，C(1，3，0)，所以PC(1，3，1)，即直线 PC 的一个方向向量为(1，3，1)设平面 PCD 的法向量为 n(x，y，z)因为 D(0，3，0)，所以PD(0，3，1)由nPC0，nPD 0，即x 3yz0，3yz0，所以x0，z 3y，令 y1，则 z 3.所以平面 PCD 的一个法向量为(0,1，3)试总结用待定系数法求平面法向量的步骤提示(1)设向量：设平面的法向量为 n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.(3)列方程组：由nAB0，nAC0列出方程
11、组(4)解方程组：nAB0，nAC0.(5)赋非零值：取 x，y，z 其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量跟进训练2.如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥 O-ABC 中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中 abc0，求平面 ABC的一个法向量解 由已知可得 ABOB OA(0，b,0)(a,0,0)(a，b,0)，ACOC OA(0,0，c)(a,0,0)(a,0，c)设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nABaxby0，nACaxcz0，将 x 看成常数，可解得 yabx，zacx.令 xbc，则 yac
12、，zab.因此，n(bc，ac，ab)为平面 ABC的一个法向量当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)A 因为AB(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线 l 的一个方向向量2 1 3 4 5 2若 n(2，3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1)D(2,3，1)D 求与 n 共线的一个向量易知(2，3,1)(2,3，1)3 1 2 4 5 3(多选题)在直三棱
13、柱 ABC-A1B1C1 中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是()AABBAA1CB1BDA1C1BC 由 AA1平面 ABC，B1B平面 ABC 知，AA1，B1B 是平面ABC 的法向量，故选 BC4 1 2 3 5 4设平面 内两向量 a(1,2,1)，b(1,1,2)，则下列向量中是平面 的法向量的是()A(1，2,5)B(1,1，1)C(1,1,1)D(1，1，1)B 设 c(1,1，1)，则 cacb0，即 ca，cb，故选 B2 4 5 1 3 5已知平面 经过点 O(0,0,0)，且 e(1,2，3)是 的一个法向量，M(x，y，z)是平面 内任意一点，则 x，y，z 满
14、足的关系式是_x2y3z0 由题意得 eOM，则OM e(x，y，z)(1,2，3)0，故 x2y3z0.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何求直线 l 的方向向量？提示 在直线 l 或与直线 l 平行的直线上取两点 A，B，则AB或BA就是直线 l 的方向向量(2)平面的法向量有无数个，它们是什么关系？提示 共线(3)如何求一个平面的法向量？提示 设法向量 n(x，y，z)；在已知平面内找两个不共线向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)；建立方程组naa1xa2ya3z0，nbb1xb2yb3z0；解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
