1、第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算(重点、易混点)1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1两角差的余弦公式公式cos()适用条件 公式中的角，都是任意角 公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 cos cos sin si
2、n 思考：cos()cos cos 成立吗？提示 不一定成立，这是对公式的误解2两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作，它们的终边与单位圆分别交A，B，则图1OA，OB，OA OB，设OA 与OB 的夹角为，则由数量积定义知OA OB，cos cos cos sin sin.2k(如图1)或2k(kZ)(如图2)，2k(kZ)，(cos，sin)cos cos sin sin|OA|OB|cos cos(cos，sin)图2所以cos()，所以cos().cos cos sin sin cos 1cos 65cos 35sin 65sin 35等于()Acos 10
3、0 Bsin 100C.32D.12C 原式cos(6535)cos 30 32.2cos(15)的值是()A.6 22 B.6 22C.6 24D.6 24D cos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 22 32 22 12 6 24.3cos(35)cos(25)sin(35)sin(25).12 原式cos(35)(25)cos(60)cos 6012.4已知是锐角，sin 23，则cos3.52 36 由条件可求的cos 53，cos3 cos3cos sin3sin 12 53 32 23 52 36.合 作 探 究 释 疑 难 给
4、角求值问题【例1】(1)cos1312 的值为()A.6 24 B.6 24C.2 64D 6 24(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos 76；12cos 15 32 sin 15.(1)D cos1312 cos 12 cos 12 cos46 cos4cos6sin4sin6 22 32 22 12 6 24.(2)解 cos 75cos 15sin 75sin 195 cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15 cos(7515)cos 6012.
5、sin 46cos 14sin 44cos 76 sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14 cos(4414)cos 30 32.12cos 15 32 sin 15 cos 60cos 15sin 60sin 15 cos(6015)cos 45 22.1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把
6、所得的积相加跟进训练化简下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解(1)原式cos(21)(24)cos 45 22.(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47 sin 13sin 43cos 13cos 43 cos(1343)cos(30)32.给值(式)求值问题 探究问题1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin.2利用()可得cos 等
7、于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()【例2】(1)已知sin sin 1 32，cos cos 12，则cos()()A 32B12C.12D.32(2)已知sin3 1213，6，23，求cos 的值思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C()求cos()(2)由已知角 3 与所求角的关系即3 3 寻找解题思路(1)D 因为sin sin 1 32，所以sin22sin sin sin21 322，因为cos cos 12，所以cos22cos cos cos2122，由两式相加得12cos()11 33414 所以2cos()
8、3，所以cos()32.(2)解 6，23，32，cos3 1sin23 112132 513.3 3，cos cos3 3 cos3 cos3sin3 sin3 513121213 32 12 3526.1将本例(2)的条件改为“sin4 45，且434”，如何解答？解 sin4 45，且434，24，cos4 145235，cos cos4 4 cos4 cos 4sin4 sin 4 35 22 45 22 210.2将本例(2)的条件改为“sin3 1213，6，56”，求cos 12 的值解 656，236，又 sin3 12130，230，cos3 1sin23 513，cos 1
9、2 cos12 cos3 4 22 cos3 22sin3 22 513 22 1213 7 226.给值求值问题的解题策略 1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：；2；,2.给值求角问题【例3】(1)已知，均为锐角，且sin 2 55，sin 1010，则(2)已知cos 17，cos()1114，0，2，则.思路点拨：(1)求的范围求cos值求(2)明确范围利用求cos 确定的值(1)4(2)3(1)，均为锐角，cos 55，c
10、os 3 1010.cos()cos cos sin sin 55 3 1010 2 55 1010 22.又sin sin，02，02.故 4.(2)，0，2，(0，)cos 17，cos()1114，sin 4 37，sin()5 314，cos cos()cos()cos sin()sin 1114 175 314 4 37 12.02，3.1本例(1)中“sin”变为“cos”，“sin”变为“cos”，的值怎样？解，均为锐角，sin 1cos2 55，sin 1cos23 1010，cos()cos cos sin sin 2 55 1010 55 3 1010 22.sin sin
11、，02.20.4.2若本例(2)变为：已知 cos 17，cos()1314，且 02，结果怎样？解 由cos 17，02，得sin 1cos211724 37.由02，得02.又因为cos()1314，所以sin()1cos21131423 314.由()得cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，所以3.已知三角函数值求角的解题步骤 1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.3结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案.课
12、堂 小 结 提 素 养 1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值(2)确定角所在的范围(找区间)(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定1下列命题正确的是()A对于任意角，都有cos()cos cos B对于任意角，都有cos()cos cos C不存在角，使得cos()cos cos
13、sin sin D存在和，使得cos()cos cos sin sin D A明显不成立；B中当4，2时，等式成立，B不成立；C中，当k或k时(kZ)等式成立，D正确，因为当0时，等式成立2cos 50()Acos 70cos 20sin 70sin 20Bcos 70sin 20sin 70cos 20Ccos 70cos 20sin 70sin 20Dcos 70sin 20sin 70cos 20C 507020，根据两角差的余弦公式知C正确3若sin sin 1，则cos()的值为1 由sin sin 1，得cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.4已知sin 45，sin 513，且180270，90180，求cos()的值解 因为sin 45，180270，所以cos 35.因为sin 513，90180，所以cos 1213.所以cos()cos cos sin sin 35 1213 45 513 366520651665.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
