1、第二讲 证明不等式的基本方法23 反证法与放缩法学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接反证法证明不等式 已知 a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能同时大于14.分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有一种情况，因此用反证法 学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：证法一 假设三式同时大于14，即有(1a)b14，(1b)c14，(1c)a14.三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c 164.又(1a)a1aa2214，同理，(1b)b14，(1c)c14，(1a)a(1b)b(1c)c 164，与假设矛盾(1a)b
2、，(1b)c，(1c)a 不能同时大于14.学习目标预习导学典例精析栏目链接证法二 假设三式同时大于14.0a1，1a0，（1a）b2（1a）b1412.同理（1b）c2，（1c）a2都大于12.三式相加，得3232，此式矛盾，原命题成立点评：当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体 学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1已知 0 x2，0y2，0z2，求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于 1.证明：证法一 假设 x(2y)1，y(2z)1，z(2x)1 均成立，则三式相乘得 xyz(2x)(2y)(2z)1.因为 0 x
3、2，所以 0 x(2x)x22x (x1)211，同理，0y(2y)1，0z(2z)1，学习目标预习导学典例精析栏目链接所以三式相乘得 0 xyz(2x)(2y)(2z)1，与矛盾，故假设不成立 所以 x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于 1.证法二 假设 x(2y)1，y(2z)1，z(2x)1 均成立，则 x（2y）y（2z）z（2x）3，学习目标预习导学典例精析栏目链接而x（2y）y（2z）z（2x）x（2y）2y（2z）2z（2x）23，与矛盾，故假设不成立，所以原结论成立 学习目标预习导学典例精析栏目链接已知实数 a，b，c，d 满足 abcd1，acbd1，求证：a，b，c，
4、d 中至少有一个是负数分析：适合运用反证法来证明 证明：假设 a，b，c，d 都是非负数，即 a0，b0，c0，d0，则 1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd，这与已知的 acbd1 矛盾，所以假设不成立，所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：在证明中含有“至少”“至多”“最多”等字眼或证明否定性命题唯一性命题时，可使用反证法在证明中出现的矛盾可以与假设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，还可以自相矛盾 学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2已知 f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于
5、12.学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|(1pq)|(93pq)(84p2q)|2，这与假设相矛盾，从而假设不成立，所以原命题成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.学习目标预习导学典例精析栏目链接放缩法证明不等式 已知 a，b，cR.(1)求证：abc bca cab32；(2)求证：abc bcbca cacab ab1.分析：(1)应用 x2y22xy 来进行证明(2)用(1)的结论进行证明
6、 学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：(1)abc bca a2b2cabc（bc）（ca）2abcabc（bc）（ca）a（bc）b（ca）（bc）（ca）aca bbc，同理，bca cab bab cca，cab abc cbc aab.得 2abc bca cab accabcbcbaab3，abc bca cab32.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)应用 xyxy2(x，yR)及(1)的结论得：abc bcbca cacab ababcbc2bcaca2cabab223abc bca cab 23321.点评：在要证明的不等式中含有分式时，把分母放大，相应的分式的值就会缩小，
7、反之就会扩大，但放缩要适度。学习目标预习导学典例精析栏目链接 求证：32 1n11 122 1n2k2k(k1)1k（k1）1k21k（k1）.即1k 1k1 1k2 1k11k(kN*，且 k2)，学习目标预习导学典例精析栏目链接分别令 k2，3，n 得：1213 122112，1314 1321213，1n 1n1 1n2 1n11n.将它们相加得：121313141n 1n1 122 132 1n21121213 1n11n.即12 1n1 122 132 1n211n.32 1n11 122 132 1n221n(nN*，且 n2)学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练3求证：12
8、1n1 1n2 12n1(n1，nN)证明：n1，nN，1n1 1n2 12n1n1n1n1，1n1 1n2 12n 12n 12n 12n12，原不等式成立学习目标预习导学典例精析栏目链接4求证：2(n11)1 12 13 1n2 n，其中 nN.证明：对 kN，1kn，有 1k2k k12(k1 k)1 12 13 1n2(2 1)2(3 2)2(n1n)2(n11)学习目标预习导学典例精析栏目链接同理，1k2k k12(k k1)，k2，3，n，1 12 13 1n12(2 1)2(3 2)2(n n1)1(2 n2 1)2 n12 n.原不等式成立 学习目标预习导学典例精析栏目链接设
9、x，y，z 满足 xyza(a0)，x2y2z212a2，求证：x，y，z 都不能是负数或大于23a 的数证明：假设 x，y，z 中有负数 若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x0，y0，z0.y2z212(yz)212(ax)2，且 y2z212a2x2，12(ax)212a2x2.即32x2ax0.这与 a0，x0 矛盾学习目标预习导学典例精析栏目链接若 x，y，z 中有两个负数，不妨设 x0，y0，z0，则 za，即 z2a2，这与 x2y2z212a2 矛盾 若 x，y，z 全为负数，则与 xyza0 矛盾 故假设不成立 综上所述，x，y，z 都不能是负数 假设 x，y，z 中有大于23a 的数 若 x，y，z 中有一个大于23a，不妨设 x23a，y23a，z23a.学习目标预习导学典例精析栏目链接由12a2x2y2z212(yz)212(ax)2，得32x2ax0，即32xx23a 0，这与 x23a 相矛盾 若 x，y，z 中有两个或三个大于23a 的数，则与 xyza 相矛盾 故假设不成立 综上所述，x，y，z 都不大于23a.学习目标预习导学典例精析栏目链接易错点 反证法中对结论否定不全【易错点辨析】运用反证法证明的命题的结论是p或q的形式时，应对 p，q 分别假设反证，不能只考虑其中一种情况
