1、第2节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫
2、做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值常用结论与微点提醒1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数yf(x)(f(x)0或f(x)0)的单调增区间为(，)，(，)；单调减区间是，0)，(0，.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，且x1x2
3、有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).()(3)对于函数yf(x)，若f(1)0，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间.函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，).答案D5.(2020新乡模拟)函数yf(x)是定义在2，2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_.解析由条件知解得1a1.答案1，1)6.(2020青岛二中月考)函数f(x)的最大值为_.解析当x1时，函数f(x)
4、为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0，得2x3，故函数的定义域为(2，3)，令tx2x6，则ylogt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数tx2x6在(2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得tx2x6在定义域(2，3)上的单调递减区间为，故选A.答案A(2)(一题多解)试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性.解法一设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，
5、即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上单调递增.规律方法1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(2)函数yfg(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (1)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_.解析由题意知g(x)函数的图象如图所示的实线
6、部分，根据图象，g(x)的递减区间是0，1).答案0，1)(2)判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1，2上的单调性.解f(x)在1，2上单调递增，证明如下：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10，2x1x24.1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增.考点二求函数的最值【例2】 (1)已知函数f(x)axlogax(a0，且a1)在1，2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A. B. C.2 D.4(2)(2020惠州一中
7、月考)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.解析(1)f(x)axlogax在1，2上是单调函数，所以f(1)f(2)loga26，则aloga1a2loga2loga26，即(a2)(a3)0，又a0，所以a2.(2)法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.法二依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.答案(1)C(2)1规律方法求函数
8、最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练2】 (1)定义maxa，b，c为a，b，c中的最大值，设Mmax2x，2x3，6x，则M的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.6(2)设函数f(x)则f(x)的最小值是_.解析(1)画出函数M2x，2x3，6x的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22624，故
9、M的最小值为4.(2)当x1时，f(x)x2的最小值为0，当x1时，f(x)x626(当且仅当x时，取“”).由于26x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cbaC.acb D.bac解析因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.由当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减.又12ff(e)，即f(2)ff(e)，故bac.答案D角度2求解函数不等式【例32】 (2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)解析当x0时，函数f(x)2x是减函数，则
10、f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x1)f(2x)，当且仅当或解得x1或1x0，即x0成立，那么a的取值范围是_.解析(1)f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，ysin单调递增，f(x)sin单调递减，是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得0，a，a，即amax.(2)对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函数.所以解得af(2)f(2)B.ff(2)f(2)C.f(2)f(2)fD.f(2)f(2)f(3)(角度3)若函数f(x)x22ax与g(x)在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是()A.(1，0)(0，1)
11、B.(1，0)(0，1C.(0，1) D.(0，1解析(1)作出函数f(x)的图象如图所示，知函数f(x)在R上是减函数，由f(a1)f(a)，得a1a，解得a.(2)因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34). 又因为log341220，且函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(log34)f(2)f(2).即ff(2)f(2).(3)因为f(x)x22ax(xa)2a2在1，2上为减函数，所以由其图象得a1.g(x)，g(x)，要使g(x)在1，2上为减函数，需g(x)0在1，2上恒成立，故有a0.综上可知00时，exex0，exex0，所以f(x)0.故f
12、(x)在(0，)上是增函数.答案A2.(2020昆明诊断)已知函数f(x)在R上单调递减，且a33.1，b，cln ，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A.f(a)f(b)f(c) B.f(b)f(c)f(a)C.f(c)f(a)f(b) D.f(c)f(b)f(a)解析因为a33.1301，0b1，cln ln 10，所以cbf(b)f(a).答案D3.已知函数f(x)loga(x22x3)(a0且a1)，若f(0)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1.根据f(0)loga30，可得0a0且a1)在R上单调递减，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析由分段函数f(x)
13、在R上单调递减，可得0a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.(1)证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数.(2)解f(x)在上的值域是，又由(1)知f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，易得a.10.已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的范围.解(1)f(0)aa1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：f(x)的定义域为R，任取x1，x2R且x1x2，
14、则f(x1)f(x2)aa，y2x在R上单调递增且x1x2，02x12x2，2x12x20，2x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a1.f(ax)f(2)即为f(x)f(2)，又f(x)在R上单调递增，xf(x)，则实数x的取值范围是()A.(，1)(2，) B.(，2)(1，)C.(1，2) D.(2，1)解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线.又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数.因此
15、，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x0，此时函数f(x)在e，)上单调递增，值域是e1，).当xe时，yxm是减函数，其值域是.因此e1，).于是me1，解得m1，故实数m的最小值是1.答案113.已知定义在区间(0，)上的函数f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1.(1)解不等式0f(x21)1；(2)若f(x)m22am1对所有x(0，3，a1，1恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由解得x2或2x.原不等式的解集为x|2x或x2.(2)函数f(x)在(0，3上是增函数，f(x)在(0，3上的最大值为f(3)1，不等式f(x)m22am1对所有x(0，3，a
16、1，1恒成立转化为1m22am1对所有a1，1恒成立，即m22am0对所有a1，1恒成立.设g(a)2mam2，a1，1，需满足即解该不等式组，得m2或m2或m0，即实数m的取值范围为(，202，).C级创新猜想14.(多填题)(2019北京卷)设函数f(x)exaex(a为常数).若f(x)为奇函数，则a_；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是_.解析若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，即exaex(exaex)，即(a1)(exex)0对任意的x恒成立，所以a1.若函数f(x)exaex是R上的增函数，则f(x)exaex0恒成立，所以ae2x恒成立，则有a0，即a的取值范围是(，0.答案1(，0
