1、1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法(易混点)2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3.了解投影向量的概念以及投影向量的意义(难点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养.2.借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 回忆平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向
2、量的夹角如何定义，并尝试总结两者的不同之处知识点 1 空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OAa，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角 的取值范围是0，特别地，当 时，两向量同向共线；当 时，两向量反向共线，所以若 ab，则a，b0 或；当a，b2时，两向量，记作 .ab0垂直1.(1)对空间任意两个非零向量 a，b，a，b，b，a，a，b有怎样的关系？(2)对空间任意两个非零向量 a，b，a，b，a，ba，b有怎样的关系？提示(1)a，bb，aa，b(2)a，ba，ba，b 1.如图所示在正方
3、体 ABCD-A1B1C1D1 中，(1)AB，A1C1 _；(2)AB，C1A1 _；(3)AB，A1D1 _；(4)AB，B1A1 _.(1)4(2)34 (3)2(4)(1)AB，A1C1 AB，AC4；(2)AB，C1A1 AB，CAAB，AC34；(3)AB，A1D1 AB，AD 2；(4)AB，B1A1 AB，BA.回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由知识点 2 空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量 a，b，则_叫做 a，b 的数量积，记作 ab.即 ab_规定：零向量与任意向量的数量积为.0|
4、a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的性质aeea|a|cosa，e(其中 e 为单位向量)；ab；当 a 与 b 同向时，ab_，当 a 与 b 反向时，ab；aaa2|a|2 或|a|aa a2；若 a，b 为非零向量，则 cosa，b ab|a|b|；|ab|a|b|(当且仅当 a，b 共线时等号成立)|a|b|ab0|a|b|(3)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)，R；abba(交换律)；(ab)cacbc(分配律)2.(1)对于向量 a，b，c.由 abac，能得到 bc 吗？(2)对于向量 a，b，c，(ab)ca(bc)成立吗？为什么？提示(1)不
5、能例如，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAD ABAA1 0，但AD，AA1 不相等(2)不成立例如，任取三个不共面向量 a，b，c，(ab)c 是一个数与向量 c 作数乘，a(bc)是一个数与向量 a 作数乘，而 a，c 不在同一个方向上，所以(ab)c 与 a(bc)不可能相等对于向量 a，b，若 abk，则不能写成 akb或 bka，向量没有除法2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长等于 2，则AC AD1 _.4|AC|AD1|2 2，AC，AD1 60，ACAD1|AC|AD1|cos 602 22 2124.知识点 3 向量 a 的投影(1)向量 a 向向量
6、b(直线 l)的投影如图，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c|a|cosa，b b|b|，向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影(如图)(2)向量 a 向平面 的投影如图，向量 a 向平面 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线，垂足分别为 A，B，得到向量AB，向量AB称为向量 a 在平面 上的投影向量这时，向量 a，AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 所成的角 3.思考辨析(正确的打“”，错
7、误的打“”)(1)向量 a 在向量 b 上的投影向量与向量 b 的方向相同()(2)向量 a 在直线 l 上的投影向量 c 与向量 ac 垂直()(3)向量 a 在平面 上的投影向量为 c，则向量 a 所在直线与平面 所成的角为a，c()提示(1)当a，b2时，反向(2)根据向量向直线的投影定义可知，c 与 ac 垂直(3)根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 空间向量数量积的计算【例 1】(对接教材 P7 例题)如图所示，在棱长为 1 的正四面体A-BCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求：(1
8、)EFBA；(2)EFBD；(3)EFDC；(4)ABCD.解(1)EFBA12BD BA 12|BD|BA|cosBD，BA12cos 6014.(2)EFBD 12BD BD 12|BD|212.(3)EFDC 12BD DC 12|BD|DC|cosBD，DC 12cos 12014.(4)ABCD AB(AD AC)ABAD ABAC|AB|AD|cosAB，AD|AB|AC|cosAB，AC cos 60cos 600.求空间向量的数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积(3)代入公式 ab|a|
9、b|cosa，b求解跟进训练1已知 a3p2q，bpq，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 ab 等于()A1 B2 C3 D4A pq 且|p|q|1，ab(3p2q)(pq)3p2pq2q2302 1.2已知正四面体 D-ABC 的各棱长为 1，点 E 是 AB 的中点，则ECAD 的值为()A14B14C 34D 34A 如图所示，正四面体 D-ABC 的棱长是 1，E 是 AB 的中点 ECAD(EAAC)AD 12ABAD ACAD 1211cos 6011cos 6014，故选 A类型 2 利用数量积证明空间中的垂直关系【例 2】如图，已知正方体 ABCD-ABCD中，CD与 D
10、C相交于点 O，连接 AO，求证：(1)AOCD；(2)AC平面 BCD.解(1)因为AO AD DO AD 12(DD DC)12(DD DC 2AD)，CD DD DC，所以AO CD 12(DD DC 2AD)(DD DC)12(DD DD DD DCDC DD DC DC 2AD DD 2AD DC)12(|DD|2|DC|2)0，所以AO CD，故 AOCD.(2)因为AC BC(ABBC CC)(BB BC)ABBB ABBCBCBB BC BC CC BB CC BC，且ABBB 0，ABBC 0，BCBB 0，BCBC|BC|2，CC BB|CC|2，CC BC0，所以AC B
11、C|BC|2|CC|20，所以AC BC，所以 ACBC 同理可证，ACBD.又 BC，BD平面 BCD，BCBDB，所以 AC平面 BCD.用数量积证明线线垂直的步骤？提示(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知模和夹角向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为 0；(4)将向量问题回归到几何问题跟进训练3已知空间四边形 OABC 中，AOBBOCAOC，且 OAOBOC，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OGBC证明 连接 ON，设AOBBOCAOC，又设OA a，OB b，OC c，则|a|b|c|.又OG 12(OM ON)1212OA
12、 12OB OC 14(abc)，BCcb.OG BC14(abc)(cb)14(acabbcb2c2bc)14(|a|2cos|a|2cos|a|2|a|2)0.OG BC，即 OGBC类型 3 利用数量积求夹角【例 3】如图，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线 OA 与 BC 的夹角的余弦值解 BC AC AB，OA BC OA AC OA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|cosOA，AB84cos 13586cos 1202416 2.cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25，异面直线
13、 OA 与 BC 的夹角的余弦值为32 25.求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；(4)根据异面直线所成角的余弦值为向量夹角余弦值的绝对值，求出异面直线所成角的大小跟进训练4已知空间四边形 OABC 各边及对角线长都相等，E，F 分别为AB，OC的中点，则异面直线 OE 与 BF所成角的余弦值为_23 如图，设OA a，OB b，OC c，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC3，则 abbcca12.因为OE 12(OA OB)12(a
14、b)，BFOF OB 12OC OB 12cb，所以OE BF12(ab)12cb 14ac14bc12ab12b212.又因为|OE|BF|32，所以 cosOE，BF OE BF|OE|BF|23.所以异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23.类型 4 利用数量积求两点间的距离【例 4】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将ACD 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求此时 B，D 间的距离B，D 间的距离可用|BD|表示，结合题中已知的条件，如何转化向量BD？解 ACD90，AC CD0，同理可得AC BA0.AB与 CD 成 60
15、角，BA，CD 60或BA，CD 120.又BD BAAC CD，|BD|2|BA|2|AC|2|CD|22BAAC 2BACD 2ACCD 3211cosBA，CD 当BA，CD 60时，|BD|24，此时 B，D 间的距离为 2；当BA，CD 120时，|BD|22，此时 B，D 间的距离为 2.求两点间距离的方法(1)取以两点为起点和终点的向量；(2)用已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用 a2|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离跟进训练5.如图所示，在平面角为 120的二面角-AB-中，AC，BD，且 ACAB，BDAB，垂足分别为 A，B已知 ACABBD6，求线段 CD
16、的长解 ACAB，BDAB，CAAB0，BD AB0.二面角-AB-的平面角为 120，CA，BD 18012060.CD 2(CA ABBD)2CA 2AB 2BD 22CA AB2CA BD2BD AB362262cos 60144，CD12.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各组向量的夹角为 45的是()AAB与A1C1 BAB与C1A1CAB与A1D1DAB与B1A1A AB，A1C1 AB，AC45，故选 A2 1 3 4 5 2在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AEAF
17、等于()A0 B12 C14 D14D AE AF 12(AB AC)12 AD 14(AB AD AC AD)1411121112 14，故选 D3 1 2 4 5 3若向量 m 垂直于向量 a 和 b，向量 nab(，R 且，0)，则()AmnBmnCm 既不平行于 n，也不垂直于 nD以上三种情况都有可能3 1 2 4 5 B 由已知得 ma0，mb0，所以 mnm(ab)mamb0.因此 mn，故选 B4 1 2 3 5 4已知两异面直线的方向向量分别为 a，b，且|a|b|1，ab12，则两直线的夹角为_60 设向量 a，b 的夹角为，则 cos ab|a|b|12，所以 120，则
18、两个方向向量对应的直线的夹角为 18012060.2 4 5 1 3 5如图，在三棱锥 A-BCD 中，底面边长与侧棱长均为 a，M，N 分别是棱 AB，CD 上的点，且 MB2AM，CN12ND，则 MN 的长为_2 4 5 1 3 53 a 因为MN MB BC CN 23AB(AC AB)13(AD AC)13AB13AD 23AC，2 4 5 1 3 所以MN 213AB13AD 23AC 2 19AB 229AD AB49ABAC49ACAD 19AD 249AC 2 19a219a229a229a219a249a259a2.所以|MN|53 a，即 MN 53 a.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？提示 一致(2)向量 a 在向量 b 上的投影向量为向量 c.则如何求|c|？试列举出你知道的方法 提示|c|a|cosa，b或|c|ab|b|.(3)利用空间向量的数量积可研究哪些问题？提示 可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
